Question

【題目】當溫度從低到高變化時，通常物質會經歷固體、液體和氣體三種狀態，當溫度進一步升高，氣體中的原子、分子將出現電離，形成電子、離子組成的體系，這種由大量帶電粒子（有時還有中性粒子）組成的體系便是等離子體．等離子體在宏觀上具有強烈保持電中性的趨勢，如果由于某種原因引起局部的電荷分離，就會產生等離子體振蕩現象．其原理如圖，考慮原來宏觀電中性的、厚度為的等離子體薄層，其中電子受到擾動整體向上移動一小段距離，這樣在上、下表面就可分別形成厚度均為的負、正電薄層，從而在中間宏觀電中性區域形成勻強電場，其方向已在圖中示出．設電子電量為、質量為、數密度（即單位體積內的電子數目）為；并設如下各問中，電荷運動及電場變化所激發的磁場及磁相互作用均可忽略不計

（1）試求該勻強電場的大小．（可利用平行板電容器公式：，其中為真空介電常量，為電容器極板面積，為極板間距）

（2）假定此后電子保持整體運動，且其運動對正離子的反沖及其與正離子之間的碰撞均可忽略不計．試說明這種整體運動為簡諧振動，并求解振動角頻率的表達式．（結果以參量、、、表述）

（3）在上圖原等離子體薄層所在區域及其周邊施加方向交變外電場，其中、為已知常量．忽略正離子的運動，但考慮因電子與正離子的碰撞所帶來的能量損耗，其效果可以等價為平均作用于每個電子上的線性速度阻尼力，其中為已知常量

①仍假定此后電子保持整體運動，且其穩態振動振幅，試求該振幅；

②將等離子體看作是一種電介質，即將交變電場作用下等離子體內部正、負電荷的相對移位看作是“極化”效應，試求解如上交變電場中等離子體薄層對應的復相對介電常量

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)① ②

【解析】

（1）設等離子體上下底面積為，則下表面電荷宏觀電量為’

勻強電場場強大小為．

（2）電子整體運動可由單個電子代表．處于題圖中宏觀電中性區域內的自由電子受力為

其中也是該電子相對原平衡位置的位移，即該電子運動滿足．

因此，以該電子代表的整體運動為簡諧振動，其角頻率為．

（3）①取交變外電場復表述

則單電子穩態振動對應的復表述為

， ①

其中為復振幅．

單電子穩態振動復表述滿足方程，

其中為(2)問所求．上式可化為．

將①式代入得，

， ②

，．

②解法一：定義等離子體介質的極化強度矢量為單位體積內微觀電偶極矩的求和，則由題文可知，當電子相對正離子整體移位時（為軸方向的單位向量），有

．

由（1）問中結果，得其產生附加電場為．

對題文所述交變外電場作用下的極化機制，采用復表述并投影到軸方向，即得

，． ③

由線性極化規律有

其中為復電極化率．代入③式得，即．

代入②式得．

將代入，有，

解得,

故得復相對介電常量為，．

解法二：由總電場復表述

求解穩態振動復表述（仍設）方程

，，

，即，

得，．