Question

【題目】假設電磁作用理論在所有慣性系都成立，慣性系、間的相對運動關系如圖1所示

開始時系測得全空間有不隨時間變化的電磁作用場為，，為軸方向上的單位矢量．在系中放一塊原不帶電的長方導體平板，與軸、軸平行的兩條直邊足夠長（分別可模型化為無限長），與軸平行的直邊較短．今如圖2所示，令導體板以勻速度相對系沿軸方向運動，在其上、下表面上分別累積正、負電荷，穩定時電荷面密度分別記為常量和．將空間分為導體板上方區域、導體板內區域和導體板下方區域

（1）在系中求解以及上述三區域內的電磁作用場強度量、、和、、

（2）此導體板相對系靜止，如果已經認知：

（i）系測得的導體板沿軸方向的線度是系測得的沿軸方向線度的倍，導體板在系沿軸、軸方向的線度與在系沿軸、軸方向的線度相同

（ii）系測得導體板上、下表面電荷均勻分布，電荷總量為，則系測得導體板上、下表面電荷也是均勻分布，電荷總量也為

（iii）系中一個靜止質點，在系中必沿軸反方向以速率運動；系中一個運動質點若沿軸（或軸）方向分速度為零，則在系中沿軸（或軸）方向分速度也為零

①試求系三區域內的電場強度、、（答案中不可包含）

②再求系三區域內的磁感應強度、、（答案中不可包含）

③用所得結果糾正下述手抄相對論電磁場變換公式時出現的錯誤．，，，，，

Answer 1

【答案】(1) 進而可得，;電場分布則為， (2) 見解析

【解析】

（1）穩定時，系中導體板上表面電荷運動形成沿軸方向的面電流，電流線密度大小為．

下表面電荷運動形成沿軸負方向的面電流，電流線密度大小為．

據磁場安培環路定理，這兩個反向面電流在導體板上、下方區域和板內區域形成的附加磁場分別為

，．

全空間磁場分布便為，．

導體板上、下表面電荷在空間形成的附加電場為，，

為軸方向上的單位矢量．

全空間電場分布為，．

導體板內微觀帶點粒子受力平衡，有，．

又，所以，．

進而可得，．

電場分布則為，．

（2）系中導體板上表面面積和總電荷量記為和，系中對應量分別記為和，則有

，．

系中電荷面密度便為，

所以，．

此電荷在系全空間形成附加電場為，．

①電荷只能來源于原靜電場產生的靜電感應，又因導體板無論開始時放在系中沿軸上、下方何處均有電荷積累，故系中必有分布于全空間的原勻強電場，即有

，

便得，．

（在系中，導體板垂直于、軸方向的側面上無面電荷分布，也可用來說明必沿軸方向）

②、求解

考慮系中導體板上方（或下方）初始沿軸方向運動的帶電質點，因受洛侖茲力，將做平面上的勻速圓周運動（此處及如下討論中均不考慮重力場的存在）．按照題文中的說明，該帶電質點在系中不會出現沿軸方向的分運動及運動趨勢．又因為系中該帶電質點所受電場力沿軸方向，故磁場力不會出現軸方向分量，即不存在分量．

考慮系中導體板上方（或下方）帶電為的初始靜止質點，因受力為零，故將保持靜止狀態．該質點在系中必沿軸負方向勻速運動，不存在沿軸方向的分運動及運動趨勢，故磁場力不會出現軸方向分量，即不存在分量．

如上結論可判斷：沿軸方向．

此外，該質點在系中受力平衡，即向下的磁場力與向上的電場力之和必定為零，應有

（或）（或），

得．

的求解．

系中導體板上、下表面電荷靜止，沒有相對系的面電流．據磁場安培環路定理，得

．

③下面驗證相對論電作用場變化公式的“手抄版”．

可由系：，，，

，，

得到：，，

．

比較可知與前面所得的不符．

，

（＋、－號之誤未影響此結果），

．

，與前面所得的一致．

因此，“手抄版”中表達式有誤，應糾正為．

由系：，，，

，，

得到系：，，

（表達式已被糾正）．

與前面所得結論一致．

，，．

則與前面所得不符，因此，“手抄版”中表達式有誤，應糾正為．

附注：

系中若在導體板內區域放一個相對系靜止的帶電量為的粒子，它不受磁場力，僅受電場力為

．

在系該質點沿軸反方向勻速運動，受力

，．

與相對論力變換公式一致