Question

搭載有“勇氣”號火星車的美國探測器，在經過了206個晝夜長達4億8千萬公里的漫長星際旅行后，于北京時間2004年1月4日12時35分終于成功登陸火星表面．“勇氣”號離火星表面15m時與降落傘自動脫離，被眾氣囊包裹的“勇氣”號下落到火星表面后又反彈到16.2m高處，這樣上下碰撞了若干次后，才靜止在火星表面上，假設被眾氣囊包裹的“勇氣”號第一次碰撞火星表面時，其機械能損失為其碰撞前機械能的19%，已知火星半徑為地球半徑的二分之一，質量為地球的九分之一，火星大氣十分稀薄，可不計其阻力．取地球表面的重力加速度為10m/s²，試求：
（1）火星表面的重力加速度是多少？
（2）“勇氣”號在15m高處與降落傘自動脫離的速度是多少？
（3）若“勇氣”號和氣囊的總質量為270kg，設其與火星表面第一次碰撞時氣囊和火星表面的接觸時間為0.38s，求“勇氣”號的氣囊與火星表面碰撞時所受到的平均沖力．

Answer 1

分析：（1）在星球表面處重力等于萬有引力

GMm

R2

=mg，得g=

GM

R2

，根據火星與地球的質量比和半徑比，計算可得它們的表面重力加速度之比，從而可知火星表面的重力加速度．
（2）被眾氣囊包裹的“勇氣”號下降過程和上升過程均是只受重力，機械能守恒，根據能量關系列式求解；
（3）設探測器與火星碰前瞬間的速度為v₁，反彈的速度為v₂，根據動量定理列式求解．

解答：解：（1）在星球表面處重力等于萬有引力

GMm

R2

=mg，
可得

g火

g地

=

M火 R 2 地

M地 R 2 火

=

4

9

，
g_火=

4

9

g_地=

40

9

m/s²=4.4m/s²．
（2）被眾氣囊包裹的“勇氣”號下降過程和上升過程均是只受重力，機械能守恒，故：
1-19%=

mgh2

1 2 mv2+mgh1

故v=

2g(h2-0.81h1) 0.81

=

2×4.4×(16.2-0.81×15) 0.81

=3.3m/s
（3）設探測器與火星碰前瞬間的速度為v₁，反彈的速度為v₂，根據機械能守恒定律，有：
mgh1+

1

2

m

v

2

=

1

2

m

v

2 1

mgh2=

1

2

m

v

2 2

故v₁=

v2+2gh1

=

3．32+2×4.4×15

=12m/s
v₂=

2gh2

=

2×4.4×16.2

=11.9m/s
以向下為正方向，根據動量定理，有：
（G-F）t=m（-v₂）-mv₁
解得：F=m

v1+v2

t

+mg=270×

11.9+12

0.38

+270×4.4=1.82×10⁴N
答：（1）火星表面的重力加速度是4.4m/s²；
（2）“勇氣”號在15m高處與降落傘自動脫離的速度是3.3m/s；
（3）“勇氣”號的氣囊與火星表面碰撞時所受到的平均沖力為1.82×10⁴N．

點評：本題把天體運動和運動學公式以及能量、動量關系結合力起來，題型新穎，對綜合能力要求較高，有一定的難度．