Question

我國于2007年10月24日，在西昌衛星發射中心，將一顆探月衛星“嫦娥一號”成功發射升空，在經歷14天的飛行后，“嫦娥一號”衛星接近月球，實施首次“制動變軌”，進入月球捕獲橢圓軌道，又經歷兩次“制動變軌”，最終進入預定環月工作軌道（如圖所示）．
（1）衛星在靠近月球前先進行變軌，在預定點處啟動衛星上的噴氣推進器，為使衛星從橢圓軌道進入環月飛行圓軌道，如圖所示，推進器是向前噴氣還是向后噴氣？
（2）若已知地球和月球的半徑之比為

R0

R

=3.6，地球和月球表面的重力加速度之比為

g0

g

=6，求地球和月球的密度之比；
（3）若已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g，衛星在環月圓軌道上的運行周期為T，試求衛星在環月圓軌道上運行時離月球表面高度和衛星環月圓軌道處的重力加速度．

Answer 1

（1）“嫦娥一號”從橢圓軌道進入環月飛行圓軌道，做逐漸靠近圓心的運動，即做向心運動，應減速，故向前噴氣．
（2）在星球表面，根據萬有引力等于重力列出等式G

Mm

R2

=mg，得M=

R2g

G

密度的定義式ρ=

M

V

所以ρ=

R2g G

4 3 πR3

=

3g

4GπR

已知地球和月球的半徑之比為

R0

R

=3.6，表面的重力加速度之比為

g0

g

=6，
所以地球和月球的密度之比

ρ0

ρ

=

g0R

gR0

=

6

3.6

=

5

3

（3）“嫦娥一號”星繞月球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力列出等式，G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T2

(R+h)，得h=

3	GMT2 4π2

-R
在月球表面，根據萬有引力等于重力列出等式：G

Mm′

R2

=m′g，得GM=R²g，
所以：h=

3	R2gT2 4π2

-R
衛星環月圓軌道處，根據萬有引力定律和牛頓第二定律G

Mm

(R+h)2

=mgh，
得gh=

GM

(R+h)2

=

R2g

( 3 R2gT2 4π2 )2

=

3	16π4gR2 T4

答：（1）推進器是向前噴氣．
（2）地球和月球的密度之比為

5

3

．
（3）衛星在環月圓軌道上運行時離月球表面高度為

3	R2gT2 4π2

-R，衛星環月圓軌道處的重力加速度為

3	16π4gR2 T4

．