Question

如圖（a），小球甲固定于水平氣墊導軌的左端，質量m=0.4kg的小球乙可在導軌上無摩擦地滑動，甲、乙兩球之間因受到相互作用而具有一定的勢能，相互作用力沿二者連線且隨間距的變化而變化。現已測出勢能隨位置x的變化規律如圖（b）中的實線所示。已知曲線最低點的橫坐標x₀=20cm，虛線①為勢能變化曲線的漸近線，虛線②為經過曲線上某點的切線。
（1）將小球乙從x₁=8cm處由靜止釋放，小球乙所能達到的最大速度為多大？
（2）假定導軌右側足夠長，將小球乙在導軌上從何處由靜止釋放，小球乙不可能第二次經過x₀=20cm的位置？并寫出必要的推斷說明；
（3）若將導軌右端抬高，使其與水平面的夾角α=30°，如圖(c)所示。將球乙從x₂=6cm處由靜止釋放，小球乙運動到何處時速度最大？并求其最大速度；
（4）在圖(b)上畫出第（3）問中小球乙的動能E_k與位置x的關系圖線。

Answer 1

（1）1m/s；（2）見解析；（3）0.55m/s；（4）見解析。

(14分)（1）球乙運動到x₀=20cm位置時勢能最少，速度最大，
能量守恒：，                                     （1分）
解出 m/s=1m/s                                 （1分）
（2）在0<x<6cm區間內將小球乙由靜止釋放，不可能第二次經過x₀。     （1分）
原因： 在0<x<20cm區間內兩球之間作用力為排斥力，在20cm <x<∞區間內兩球之間作用力為吸引力，無窮遠處和6cm處的勢能均為0.28J。若小球乙的靜止釋放點在6cm <x<∞區間，小球乙將做往復運動，多次經過x₀=20cm的位置。而靜止釋放點在0<x<6cm區間內時，初態勢能大于0.28J，小球乙將會運動到無窮遠處而無法返回，只能經過x₀位置一次。                （2分）
（3）x₃=12cm處的切線斜率J/m="2J/m" ，
表明此處乙球受到甲球2N的排斥力，                                 （1分）
乙球此處受到重力的分力mgsinα=…=2N                    
所以，乙球在x₃=12cm處時，所受合外力等于零，速度最大，             （1分）
從圖中讀出x₃=12cm處的勢能E_p3=0.1J，x₂=6cm處的勢能E_p2=0.28J，      （1分）
能量守恒：，             （1分）
解出==……=m/s =0.55m/s       （1分）
（4）作圖要求：
三個關鍵點的位置正確：
x₂=6cm處的動能E_k=0；                                              （1分）
x₃=12cm處的動能E_k=0.06J；                                          （1分）
x₄=20cm處的動能E_k=0                                               （1分）
曲線要求平滑，斜率變化正確。                                      （1分）