Question

如圖所示，豎直的xOy平面內，在x≤0、y≥0的區域內有電場強度E₁=5×10²N/C、方向豎直向下的勻強電場，x＞0、y＜0的區域內有電場強度為E₂、方向豎直向上的勻強電場，E₂=5E_l．不帶電的小球B在xOy面內繞x軸上的O1點沿順時針做圓周運動，運動到O點時速度大小v_o=20m/s，帶正電的小球A在y軸上縱坐標y₁=0.4m的P點靜止釋放，恰好和B在O點發生正碰，并瞬間合成一個整體C，C能夠經過最高點0₂和最低點0₃做圓周運動．A，B的質量都是m=0.1kg，拴小球B的輕質絕緣細繩長L=0.8m，A的電荷量q=2×10^-3C．A、B、C都可以看作質點．g取10m/s²．求：
（1）小球A下落到O點的速度v₁是多大？
（2）C運動到0₃時，繩對C的拉力T是多大？
（3）小球A從y軸上y＞0的某些位置開始下落，恰好在O點與B合成為C后，不能夠做經過0₂和0₃的圓周運動．求這些位置的范圍？

Answer 1

分析：（1）小球A下落到O點的過程中由動能定理即可求解；
（2）由動量守恒求得A與B碰后共同速度，再由動能定理結合向心力公式求解繩對C的拉力；
（3）C不能做能夠經過O₂和O₃的圓周運動，即C不能達到能夠經過O₂和O₃所需的最小速度．根據動量守恒定律、圓周運動向心力公式、動能定理聯立方程即可求得范圍．

解答：解：（1）由動能定理有（qE₁+mg）y₁=

1

2

mv12
解得v₁=4m/s                   
（2）設A與B碰后共同速度為v₂，以豎直向上為正方向，由動量守恒得
mv₀-mv₁=2mv₂
解得v₂=8m/s
設C運動到O₃時速度v₃，則
2mgL-qE₂L=

1

2

×2mv32-

1

2

×2mv22
T+qE₂-2mg=2m

v32

L

解得T=7N
（3）C不能做能夠經過O₂和O₃的圓周運動，即C不能達到能夠經過O₂和O₃所需的最小速度．設C能夠做經過O₂的圓周運動，在O₂所需的最小速度為v₄，設C能夠做經過O₃的圓周運動，在O₃所需的最小速度為v₅，則
2mg=2m

v42

L

qE₂-2mg=2m

v52

L

解得：v₄=2

2

m/s，v₅=2

3

m/s
C經過O₃時速度為v₅=2

3

m/s，設經過O₂時速度為v₆，則
2qE₂L-4mgL=

1

2

×2mv62-

1

2

×2mv52，由于2qE₂L-4mgL＞0，所以v₆＞v₅=2

3

m/s＞v₄=2

2

m/s．
即C能夠做經過O₃就一定能夠做經過O₂．
當C能夠做經過O₃的速度小于v₅=2

3

m/s時，不能做能夠經過O₂和O₃的圓周運動．                                              
設C經過O₃的速度為v₅時，A與B碰后在O點的共同速度為v₇，則
2mgL-qE₂L=

1

2

×2mv52-

1

2

×2mv72
解得：v₇=6m/s                                   
C在O點的速度只要大小為v₇，不管是向上還是向下，C都能夠經過O₃．
設C的速度向上時，碰前A的速度為v₈，在y軸上開始位置的坐標為y₂，則
mv₀-mv₈=2mv₇ 
（qE₁+mg）y₂=

1

2

mv82
解得v₈=8m/s，y₂=1.6m                      
設C的速度向下時，碰前A的速度為v₉，在y軸上開始位置的坐標為y₃，則
mv₀-mv₉=-2mv₇ 
（qE₁+mg）y₃=

1

2

mv92
解得v₉=32m/s，y₃=25.6m                  
即1.6m＜y＜25.6m時，C不能做能夠經過O₂和O₃的圓周運動． 
答：（1）小球A下落到O點的速度為4m/s；
（2）C運動到0₃時，繩對C的拉力T是7N；
（3）當1.6m＜y＜25.6m時，C不能做能夠經過O₂和O₃的圓周運動．

點評：本題主要考查了動量守恒、動能定理、向心力公式的應用，要求同學們能正確分析小球的運動情況，選擇合適的定律求解，綜合性較強，難度較大．