Question

（2011?金華二模）如圖甲所示，直角坐標系中直線AB與橫軸x夾角∠BAO=30°，AO長為a．假設在點A處有一放射源可沿∠BAO所夾范圍內的各個方向放射出質量為m、速度大小均為v、帶電量為e的電子，電子重力忽略不計．在三角形ABO內有垂直紙面向里的勻強磁場，當電子從頂點A沿AB方向射入磁場時，電子恰好從O點射出．試求：
①從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間t；
②磁場大小、方向保持不變，改變勻強磁場分布區域，使磁場存在于三角形ABO內的左側，要使放射出的電子穿過磁場后都垂直穿過y軸后向右運動，試求勻強磁場區域分布的最小面積S．
③磁場大小、方向保持不變，現改變勻強磁場分布區域，使磁場存在于y軸與虛線之間，示意圖見圖乙所示，仍使放射出的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，試確定勻強磁場左側邊界虛線的曲線方程．

Answer 1

分析：（1）粒子做圓周運動，根據粒子在磁場中運動的半徑公式和周期公式可以求得粒子的運動的時間；
（2）以AB方向發射的電子在磁場中的運動軌跡與AO中垂線交點的左側圓弧，有界磁場的上邊界：以A點正上方、距A點的距離為a的點為圓心，以a為半徑的圓�。�
（3）根據所有的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，做出電子的運動的軌跡，根據幾何關系可以求得左側邊界虛線的曲線方程．

解答：解：（1）根據題意，電子在磁場中的運動的軌道半徑R=a，
由evB=

mv2

a

  
得：B=

mv

ea

   
由T=

2πm

eB

  
t=

T

6

=

πa

3v

    
（2）有界磁場的上邊界：
以AB方向發射的電子在磁場中的運動軌跡與AO中垂線交點的左側圓弧 
有界磁場的上邊界：以A點正上方、距A點的距離為a的點為圓心，以a為半徑的圓弧． 
故最小磁場區域面積為：2(

πa2

12

-a2sin150cos150)=

(π-3)a2

6

（3）設在坐標（x，y）的點進入磁場，
由相似三角形得到：

y+b

(-x)

=

a-(-x)

y

圓的方程為：x²+（y+b）²=a²
消去（y+b），磁場邊界的方程為：y=

-x(a+x)

a2-x2

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．