Question

如圖所示，在xoy第一象限內分布有垂直xoy向外的勻強磁場，磁感應強度B=2.5×10^-2T．在第二象限緊貼y軸和x軸放置一對平行金屬板MN（中心軸線與y軸垂直），極板間距d=0.4m；極板與左側電路相連接，通過移動滑動頭P可以改變極板MN間的電壓．a、b為滑動變阻器的最下端和最上端（滑動變阻器的阻值分布均勻），a、b兩端所加電壓U=144V．在MN中心軸線上距y軸距離為L=0.4m處，有一粒子源S沿x軸正方向連續射出比荷為

q

m

=4.0×10⁶C/kg，速度為v₀=2.0×10⁴m/s帶正電的粒子，不考慮粒子的重力和粒子之間的相互作用．
（1）當滑動頭P在a端時，求粒子在磁場中做圓周運動的半徑
（2）若滑動頭P移至ab正中間時，粒子在電場中的運動時間為t₁；滑動頭P在b端時粒子在電場中的運動時間為t₂，求t₁與t₂的比值．

Answer 1

分析：（1）I滑線變阻器滑動頭P在a端時，MN兩板間的電壓為0，粒子在板間做勻速直線運動，進入磁場后做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力求圓周運動半徑R；
（2）知道滑線變阻器分壓接法電壓的計算，并能根據勻強電場電勢差與電場強度的關系計算粒子在勻電場中的加速度，并根據類平拋運動確定粒子是否可以射出電場，根據運動的合成與分解計算．

解答：解：（1）P在a端時，MN間電壓為0，粒子進入磁場中時速度大小為v₀，有：
qv0B=

m v 2 0

R0

代入數據可解得：R₀=0.2m
（2）粒子在電場中做類平拋運動，加速度為a=

qE

m

=

qU

md

設MN間電壓為U₀時，粒子恰能沿極板邊緣離開電場，粒子在平行電場方向偏的距離為：

d

2

=

1

2

×

qU0

md

(

L

v0

)2
解得：U₀=100V
P在ab正中間時，極板間電壓UMN=

U

2

=72V＜U0，粒子可從板間離開電場
由L=v₀t₁得：
粒子在電場中運動時間t1=

L

v0

                     
當滑動頭P在b端時，極板間電壓U_MN=U=144V＞U₀，粒子打到極板上
由

d

2

=

1

2

qU

md

t

2 2

得：t2=d

m qU

代入數據解得：

t1

t2

=

6

5

答：（1）當滑動頭P在a端時，求粒子在磁場中做圓周運動的半徑為0.2m；
（2）t₁與t₂的比值為

t1

t2

=

6

5

點評：本題的解題關鍵是根據粒子在電場中做類平拋運動能射出電場的臨界條件，判斷粒子在不同電壓下在電場中的運動情況，從而進行討論時間的比值．．