Question

如圖所示，一個(gè)

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圓弧形光滑細(xì)圓管軌道ABC，放置在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，在A點(diǎn)與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長(zhǎng)為3R、厚度不計(jì)的墊子，左端M正好位于A點(diǎn)．將一個(gè)質(zhì)量為m，直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力．
（1）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)管的作用力大小和方向如何？
（2）欲使小球能通過C點(diǎn)落到墊子上，小球離A點(diǎn)的最大高度是多少？

Answer 1

（1）小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，落到M點(diǎn)時(shí)水平位移為R，豎直下落高度為R，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
R=

1

2

gt²，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

2R g

從C點(diǎn)射出的速度為
v₁=

R

t

=

gR 2

設(shè)小球以v₁經(jīng)過C點(diǎn)受到管子對(duì)它的作用力為N，由向心力公式可得
mg-N=m

v 21

R

N=mg-m

v 21

R

=

mg

2

，
由牛頓第三定律知，小球?qū)�管子作用力大小�?span mathtag="math" >

mg

2

，方向豎直向下．
（2）小球下降的高度最高時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)的水平位移為4R，打到N點(diǎn)．
設(shè)能夠落到N點(diǎn)的水平速度為v₂，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求得：
v₂=

4R

t

=

8gR

設(shè)小球下降的最大高度為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，
mg（H-R）=

1

2

mv₂²
H=

v 22

2g

+R=5R
答：（1）若小球從C點(diǎn)射出后恰好能打到墊子的M端，則小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對(duì)管的作用力大小為

mg

2

，方向豎直向下． （2）欲使小球能通過C點(diǎn)落到墊子上，小球離A點(diǎn)的最大高度是5R．