Question

【題目】如圖所示，在某豎直平面內固定一由斜面AB、水平面BC和半徑R＝20cm的半圓CD組成的光滑軌道，水平軌道足夠長，半圓CD圓心為O，與水平面相切于C點，直徑CD垂直于BC．可視為質點的甲、乙兩球質量均為m＝l.0×10－2kg，現將小球甲從斜面上距BC高為的A點由靜止釋放，到達B點后只保留水平分速度沿水平面運動，與靜止在C點小球乙發生彈性碰撞，重力加速度g取10m/s2，求：

（1）若兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D，則甲、乙碰后瞬間，乙對半圓軌道最低點C處的壓力；

（2）若兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D，求斜面與水平面的夾角；

（3）若將甲仍從A點釋放，增大甲的質量，保持乙的質量不變，求乙在軌道上的首次落點到C點的最短距離．

Answer 1

【答案】（1）0.6N（2） 30°（3）0.4m

【解析】（1）乙恰好能通過D點，其做圓周運動的向心力完全由重力提供，設乙到達D點時的速度為vD，則mg＝m，解得：

乙球從C到D，根據機械能守恒，得： ．解得：

在碰后的C點：F＇一mg＝m．解得：F＇＝6mg

根據牛頓第三定律得F＝F＇＝6mg＝0.6N，方向豎直向下

（2）設碰撞前后甲的速度分別為v、v甲，根據動量守恒定律和能守恒定律有：

mv＝mv甲＋mvC

聯立以上兩式解得v甲＝0，v＝vC＝

甲從A點下落到斜面底端，由機械能守恒定律得mgR＝

解得：

在B點對速度分解可得cos＝，解得＝30°

（3）因為甲在斜面上釋放時的高度不變，根據動能定理以及運動的分解可得甲運動到水平面上的速度仍為，設甲的質量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為VM、Vm，根據動量守恒和機械能守恒定律有：

Mv＝MvM＋mvm

聯立解得：

因為M≥m，可得v0≤vm＜2v0

設乙球過D點的速度為vD＇，由動能定理得

聯立解得：

乙在水平軌道上的落點到C點的距離為x＇，則有

，x＇＝vD＇t

聯立解得乙在軌道上的首次落點到C點的距離范圍：2R≤x＇＜8R

乙在軌道上的首次落點到C點的距離范圍0.4m≤x＇＜1.6m

乙在軌道上的首次落點到C點的最短距離為0.4m