Question

【題目】如圖所示，一軌道由半徑為2 m的四分之一豎直圓弧軌道AB和長度可調的水平直軌道BC在B點平滑連接而成。現有一質量為0.2 kg的小球從A點無初速釋放，經過圓弧上B點時，傳感器測得軌道所受壓力大小為3.6 N，小球經過BC段所受的阻力為其重力的0.2倍，然后從C點水平飛離軌道，落到水平地面上的P點，P、C兩點間的高度差為3.2 m。小球運動過程中可視為質點，且不計空氣阻力。g取10m/s2

（1）求小球運動至B點時的速度大小；

（2）為使小球落點P與B點的水平距離最大，求BC段的長度；

（3）小球落到P點后彈起，與地面多次碰撞后靜止。假設小球每次碰撞機械能損失75%、碰撞前后速度方向與地面的夾角相等，求小球從C點飛出到最后靜止所需時間。

Answer 1

【答案】（1）4 m/s（2）3.36m（3）2.4 s

【解析】

（1）小球在B點受到的重力與支持力的合力提供向心力，由此即可求出B點的速度；（2）結合平拋運動的公式，即可求出為使小球落點P與B點的水平距離最大時BC段的長度；（3）由機械能的損失求出速度的損失，然后結合豎直上拋運動的公式求出各段時間，最后求和即可；

（1）小球在B點受到的重力與支持力的合力提供向心力，則：，

代入數據可得：；

（2）由B到C的過程中：，則；

從C點到落地的時間：；

B到P的水平距離，

代入數據，聯立并整理可得：

可知當時，P到B的水平距離最大，為L=3.36m；

（3）由于小球每次碰撞機械能損失75%，由，則碰撞后的速度為碰撞前速度的，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等，則碰撞后豎直方向的分速度為碰撞前豎直方向分速度的，所以第一次碰撞后上升到最高點的時間等于從C點到落地的時間的，所以從第一次碰撞后到發生第二次碰撞的時間：；

同理，從第二次碰撞后到發生第三次碰撞的時間：；

……

從第n次碰撞后到發生第n+1次碰撞的時間：

小球運動的總時間：

由數學歸納法分可得：t=2.4s