Question

【題目】如圖所示，固定斜面足夠長(zhǎng)，斜面與水平面的夾角α=30°，一質(zhì)量為3m的“L”型工件沿斜面以速度v0勻速向下運(yùn)動(dòng)，工件上表面光滑，其下端連著一塊擋板。某時(shí)，一質(zhì)量為m的小木塊從工件上的A點(diǎn)，沿斜面向下以速度v0滑上工件，當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到工件下端時(shí)（與擋板碰前的瞬間），工件速度剛好減為零，后木塊與擋板第1次相碰，以后每隔一段時(shí)間，木塊就與工件擋板碰撞一次。已知木塊與擋板都是彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短，木塊始終在工件上運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g。求：

（1）木塊滑上工件時(shí)，木塊、工件各自的加速度大小。

（2）木塊與擋板第1次碰撞后的瞬間，木塊、工件各自的速度大小。

（3）木塊與擋板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的時(shí)間間隔及此時(shí)間間隔內(nèi)木塊和工件組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E。

Answer 1

【答案】（1）， （2）v1＝－2v0。v2＝2v0 （3）ΔE=24（n－1）mv02（n=2,3,4,5,……）

【解析】（1）設(shè)工件與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，木塊加速度為a1，工件加速度為a2。

對(duì)木塊，由牛頓第二定律可得：mgsinα＝ma1①

對(duì)工件，由牛頓第二定律可得：μ（3m+m）gcosα－3 mgsinα＝3ma2 ②

工件勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件可得：μ·3mgcosα＝3 mgsinα③

由①②③式解得：a1＝④

a2＝ ⑤

（2）設(shè)碰擋板前木塊的速度為v，由動(dòng)量守恒定律可得：

3mv0+mv0=mv ⑥

由⑥式解得：v=4v0 ⑦

木塊以v與擋板發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰后木塊速度為v1，工件速度為v2，由動(dòng)量守恒定律可得： mv= mv1+ 3m·v2 ⑧

由能量守恒得： ⑨

由⑥⑦⑧⑨式聯(lián)立解得：v1＝－2v0 ⑩

v2＝2v0

（3）第1次碰撞后，木塊以2 v0沿工件向上勻減速運(yùn)動(dòng)，工件以2 v0沿斜面向下勻減速運(yùn)動(dòng)，工件速度再次減為零的時(shí)間：t=

木塊的速度v1’=－2v0+a1t=4v0

此時(shí)，木塊的位移：x1=－2v0t+a1t2＝

工件的位移：x2=2v0t－a2t2＝

即木塊、工件第2次相碰前瞬間的速度與第1次相碰前瞬間的速度相同，以后木塊、工件重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)過程，則第1次與第n次碰撞的時(shí)間間隔：

Δt=（n－1）t=（n=2,3,4,5,……）

木塊、工件每次碰撞時(shí)，木塊和工件的總動(dòng)能都相等，Δt時(shí)間內(nèi)木塊、工件減少的機(jī)械能等于木塊、工件減少的重力勢(shì)能：ΔE=4mg（n－1）x2sin30°

由式解得：ΔE=24（n－1）mv02（n=2,3,4,5,……）