Question

光滑曲面軌道末端切線水平，一長度合適的木板兩端分別擱在軌道末端點和水平地面間，構成傾角為θ=37°的斜面，如圖1所示．一可視作質點的質量為m=1kg的小球，從距離軌道末端點豎直高度為h=0.2m處由靜止開始滑下．（不計空氣阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求小球從軌道末端點沖出瞬間的速度v₀的大�。�
（2）若改變木板長度，并使木板兩端始終與平臺和水平面相接，試通過計算推導小球第一次撞擊木板時的動能隨木板傾角θ變化的關系式，并在圖2中作出Ek-tan2θ圖象．

Answer 1

分析：（1）由于曲面光滑，小球下滑過程中機械能守恒，因此根據機械能守恒即可求得結果．
（2）若改變木板的長度，并使木板兩端始終與平臺和水平面相接，試通過計算推導小球第一次撞擊木板時的動能隨木板傾角θ的關系式，并在圖中作出E_k-（tanθ）²圖象．

解答：解：（1）小球從軌道末端沖出過程中機械能守恒，因此有：
mgh=

1

2

mv₀² 得：
v0=

2gh

=

2×10×0.2

=2m/s 
（2）由數學知識可得：
 tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

=

gt

2v0

得小球從水平拋出到第一次落到木板上的時間：
t=

2v0tanθ

g

則落到板上瞬時：v_y=gt=2v₀tanθ   
則 E_k=

1

2

m（v₀²+v_y²）=（8tan²θ+2）J，其中0＜tanθ≤1，
因此Ek-tan2θ圖象如圖所示：
   
答：（1）小球從軌道末端點沖出瞬間的速度v₀的大小2m/s；
（2）小球第一次撞擊木板時的動能隨木板傾角θ變化的關系式為：E_k=（8tan²θ+2）J，圖象如下所示：

點評：平拋運動是高中階段的一種重要的運動形式，要把握其水平方向和豎直方向運動特點，以及位移與水平方向、速度與水平方向夾角正切值的表達式等，并能靈活應用．