Question

光滑曲面軌道末端切線水平，軌道末端點距離水平地面的高度為H=0.8m，一長度合適的木板兩端分別擱在軌道末端點和水平地面之間，構成傾角為θ=37°的斜面，如圖所示．一可視為質點的質量m=1kg小球，從距離軌道末端豎直高度為h=0.2m處由靜止滑下．（不計空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）求小球從軌道末端點沖出后，第一次撞擊木板時的位置距離木板上端點多遠；
（2）若改變木板的長度，并使木板兩端始終與平臺和水平面相接，試通過計算推導小球第一次撞擊木板時的動能隨木板傾角θ的關系式，并在圖中作出E_k-（tanθ）²．

Answer 1

分析：（1）當小球和木板撞擊時，其平拋過程中位移方向和水平方向的夾角為θ，由平拋運動規律知tanθ=

y

x

，y和x分別表示豎直和水平位移．
（2）只要小球落到木板上，其運動過程中位移和水平方向的夾角即為θ，若速度和水平方向的夾角為α，則有tanα=tanθ，然后根據平拋運動中合速度和水平、豎直速度關系 即可求出小球動能，從而進一步推導出動能隨木板傾角θ的關系式，進而畫出圖象．

解答：解：（1）小球下滑過程中機械能守恒，則有：mgh=

1

2

mv2，得v=

2gh

=2m/s，故小球從軌道末端點沖出瞬間的速度v₀=2m/s
當小球撞到木板上時，其位移與水平方向夾角為θ，則有：tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

=

gt

2v0

   ①
水平方向：x=v₀t   ②
豎直方向：y=

1

2

gt2  ③
平拋位移：s=

x2+y2

  ④
聯立①②③④解得：s=0.75m
故第一次撞擊木板時的位置距離木板上端點距離為0.75m．
（2）當小球撞擊木板時，有tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

=

gt

2v0

所以：v_y=gt=2v₀tanθ
所以：Ek=

1

2

mv2=

1

2

m(

v02+vy2

)2=2+8tan²θ  （0＜tanθ≤1）
故第一次撞擊木板時的動能隨木板傾角θ的關系式為：E_k=（8tan²θ+2）J，其中0＜tanθ≤1
故其E_k-（tanθ）²圖象如下圖所示

答：（1）第一次撞擊木板時的位置距離木板上端點距離為0.75m；
 （2）第一次撞擊木板時的動能隨木板傾角θ的關系式為：E_k=（8tan²θ+2）J，其中0＜tanθ≤1，圖象如上圖．

點評：平拋運動時高中階段的一種重要的運動形式，要把握其水平方向和豎直方向運動特點，以及位移與水平方向、速度與水平方向夾角正切值的表達式等，并能靈活應用．