Question

【題目】（18分）下圖為某種離子加速器的設(shè)計方案.兩個半圓形金屬盒內(nèi)存在相同的垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場.其中和是間距為的兩平行極板，其上分別有正對的兩個小孔和，，P為靶點(diǎn)，（為大于1的整數(shù)）.極板間存在方向向上的勻強(qiáng)電場，兩極板間電壓為.質(zhì)量為、帶電量為的正離子從點(diǎn)由靜止開始加速，經(jīng)進(jìn)入磁場區(qū)域.當(dāng)離子打到極板上區(qū)域（含點(diǎn)）或外殼上時將會被吸收.兩虛線之間的區(qū)域無電場和磁場存在，離子可勻速穿過.忽略相對論效應(yīng)和離子所受的重力.求：

（1）離子經(jīng)過電場僅加速一次后能打到P點(diǎn)所需的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；

（2）能使離子打到P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的所有可能值；

（3）打到P點(diǎn)的能量最大的離子在磁場中運(yùn)動的時間和在電場中運(yùn)動的時間。

Answer 1

【答案】（1）（2），

（3），

【解析】

（1）離子經(jīng)電場加速，由動能定理：，可得

磁場中做勻速圓周運(yùn)動，

剛好打在P點(diǎn)，軌跡為半圓，由幾何關(guān)系可知

聯(lián)立解得

（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度較大，設(shè)離子經(jīng)過一次加速后若速度較小，圓周運(yùn)動半徑較小，不能直接打在P點(diǎn)，而做圓周運(yùn)動到達(dá)右端，再勻速直線到下端磁場，將重新回到O點(diǎn)重新加速，直到打在P點(diǎn)。設(shè)共加速了n次，有：

且

解得：，

要求離子第一次加速后不能打在板上，有，且，

解得：

故加速次數(shù)n為正整數(shù)最大取

即

（3）加速次數(shù)最多的離子速度最大，取，離子在磁場中做n-1個完整的勻速圓周運(yùn)動和半個圓周打到P點(diǎn)。

由勻速圓周運(yùn)動

電場中一共加速n次，可等效成連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動.由運(yùn)動學(xué)公式

可得：