Question

（16分）如圖所示，相距的AB、CD兩直線間的區域存在著兩個大小不同、方向相反的有界勻強電場，其中PT上方的電場的場強方向豎直向下，PT下方的電場的場強方向豎直向上，在電場左邊界AB上寬為的PQ區域內，連續分布著電量為、質量為的粒子。從某時刻起由Q到P點間的帶電粒子，依次以相同的初速度沿水平方向垂直射入勻強電場中，若從Q點射入的粒子，通過PT上的某點R進入勻強電場后從CD邊上的M點水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點的距離為。不計粒子的重力及它們間的相互作用。試求：

（1）電場強度與；

（2）在PQ間還有許多水平射入電場的粒子通過電場后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點到P點的距離有什么規律？

（3）有一邊長為、由光滑絕緣壁圍成的正方形容器，在其邊界正中央開有一小孔S，將其置于CD右側，若從Q點射入的粒子經AB、CD間的電場從S孔水平射入容器中。欲使粒子在容器中與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出(粒子與絕緣壁碰撞時無能量和電量損失)，并返回Q點，在容器中現加上一個如圖所示的勻強磁場，粒子運動的半徑小于，磁感應強度的大小還應滿足什么條件？

Answer 1

（1）、

（2）（n＝0、1、2、3、……）

（3）或

解析:

（解法一）（1）設粒子經PT直線上的點由電場進入電場，由Q到及到點的時間分別為與，到達時豎直速度為，由運動學公式可知：

…………①

…………②

…………③

…………④

由①②③④式解得：，、。

（解法二）（1）由圖知粒子從兩板間射出箭后速度方向未發生變化得上下兩磁場對粒子做功相等，即：，又∵，

∴…………①

粒子從Q運動到M點總時間為

在電場運動的時間

在電場運動的時間：

∴…………②

由①②式解得：，

（2）及③式可得:，因沿PT方向粒子做勻速運動，故P、R兩點間的距離是R、T兩點間距離的兩倍。即粒子在電場做類平拋運動在PT方向的位移是在電場中的兩倍。

設PQ間到P點距離為的F處射出的粒子通過電場后也沿水平方向，若粒子第一次達PT直線用時，水平位移為，則：、

    粒子在電場中可能做類平拋運動后垂直CD邊射出電場，也可能做類斜拋運動后返回電場，在電場中做類平拋運動垂直CD水平射出，或在電場中做類斜拋運動再返回電場。

    若粒子從電場垂直CD射出電場，則：，（n＝0、1、2、3、……）

解得：（n＝0、1、2、3、……）

    若粒子從電場垂直CD射出電場，則（k＝1、2、3、……）

解得：（k＝1、2、3、……）

即PF間的距離為：其中n＝0、1、2、3、……，k＝1、2、3、……

或（n＝1、2、3、……

解得：（n＝1、2、3、……）

即PF間的距離為：（n=1，2，3，……）

（3）（6分）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子的運動軌跡可能是如圖甲、乙所示的兩種情況。對圖甲所示的情形，粒子運動的半徑為，則

又

解得：

對圖乙所示的情形，粒子運動的半徑為，

又

綜合、得：

或