Question

一絕緣“?”形桿由兩段相互平行的足夠長的水平直桿PQ、MN和一半徑為R的光滑半圓環MAP組成，固定在豎直平面內，其中MN桿是光滑的，PQ桿是粗糙的．現將一質量為m的帶正電荷的小環套在MN桿上，小環所受的電場力為重力的

1

2

．
（1）若將小環由D點靜止釋放，則剛好能到達P點，求DM間的距離．
（2）若將小環由M點右側5R處靜止釋放，設小環與PQ桿間的動摩擦因數為μ，小環所受最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，求小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：（1）小球剛好到達P點時，速度為零，對小球從D點到P點過程，運用動能定理列式求解x．
（2）由題意，小球所受的電場力為重力的

1

2

，μ≥

1

2

，μmg≥qE．小球能到達P點左側，設小球到達P點左側s₁靜止，運用動能定理列式求解s₁，整個運動過程中克服摩擦力所做的功W=μmgs₁．

解答：解：（1）小球剛好到達P點時，速度為零，對小球從D點到P點過程，由動能定理得
  qEx-2mgR=0-0
又由題意，qE=

1

2

mg
聯立解得，x=4R
（2）若μ≥

1

2

，則μmg≥qE．
設小球到達P點左側s₁靜止，由動能定理得
  qE（5R-s₁）-mg?2R-fs₁=0
又f=μN=μmg
聯立解得，s1=

R

1+2μ

所以整個運動過程中克服摩擦力所做的功為 W₁=μmgs₁=

μmgR

1+2μ

若μ＜

1

2

，則μmg＜qE．
設小球到達經過多次的往復運動，最后在P點的速度為0，
根據動能定理：qE?5R-mg?2R-W₂=0-0
克服摩擦力做的功：W2=

1

2

mgR
答：（1）DM間的距離是4R．
（2）整個運動過程中克服摩擦力所做的功為兩種情況：若μ≥

1

2

，則W1=

μmgR

1+2μ

；若μ＜

1

2

，則W2=

1

2

mgR．

點評：對于動能定理應用，要靈活選取研究過程，結合臨界條件進行研究是常用的思路．