Question

如圖所示為水平面內的兩條相互平行的光滑金屬導軌，電阻可以忽略不計，軌道間距為l。導軌所處水平面內存在著豎直方向的勻強磁場，磁感應強度為B。兩導體桿a和b垂直于導軌放置，它們的質量分別為m和2m，電阻分別為r和2r。現給導體桿a一沿導軌方向的初速度v₀，若兩桿始終都只能沿導軌方向運動，且除勻強磁場外其他磁場不計，試求：當桿a的速度減為v₀/2時
(1)兩導體桿的加速度分別為多大？
(2)兩桿上分別產生了多少焦耳熱？
(3)已經有多少電量流過了桿a？兩導體桿間距相比最初增加了多少？

Answer 1

(1)根據楞次定律，a桿受向左的安培力向右作減速運動，b桿受向右的安培力向右作加速運動，兩桿受力等大反向，因此兩桿系統動量守恒。當a桿的速度為v₁=v₀/2時，b桿的速度設為v₂，有
mv₁+2mv₂=mv₀                   (2 分)
可得v₂= v₀/4
根據感應電動勢規律可得此時兩桿電動勢
E₁=Blv₁=Blv₀
E₂=Blv₂=Blv₀
根據閉合回路歐姆定律，回路電路為

I=
根據安培力性質，兩桿所受安培力大小為
F=BIl=                   (2分)
根據牛頓第二定律，兩桿加速度大小分別為
a₁==，a₂==  (2分)
(2)由于兩桿的動能通過電磁感應轉化為電能且由焦耳熱方式放出，根據能量守恒，電路放出內能
Q==     (2分)
因為兩桿電流在任意時刻都相等，所以兩桿發熱量與電阻成正比，兩桿分別產生熱量
Q₁==
Q₂==                          (1分)
(3)由安培力性質，桿受到的安培力
F=BIl
在一段很短的時間Δt內，由于電流可看做穩定，安培力產生沖量
Δτ="FΔt=BlΔq              " (2分)
其中Δq為時間Δt內通過電路的電量，因為B、l都不變，所以即使在較長時間內此式結果仍成立。
又根據動量定理，a桿受到的安培力沖量大小為
τ=mv₀-mv₁=
所以通過a桿的總電量
q==                (1分)
由法拉第電磁感應定律，電路中的總電動勢
E=
其中ΔS為電路面積的變化量，Δt為一段很短的時間
由閉合回路歐姆定律，電路中電流
I=
由電流與電量關系
Δq=IΔt
根據以上三式可得
Δq=               (2分)
因為B、r都不變，所以此式在一段較長時間內仍成立，因此電路面積增加量為
S=
兩桿間距增加
x=              (1分)

略