Question

有一個演示實驗，在上下面都是金屬板的玻璃盒內，放了許多錫箔紙揉成的小球，當上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動．現取以下簡化模型進行定量研究．如圖所示，電容量為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電動勢為E、內阻可不計的電源相連．設兩板之間只有一個質量為m的導電小球，小球可視為質點，小球與極板每次發生碰撞后，速度都立即變為零，帶電狀態也立即改變，改變后，小球所帶電荷性質與該極板電荷性質相同，電量為極板電量的n倍（n＜＜1），不計帶電小球帶電對極板間勻強電場的影響．重力加速度為g
（1）當電鍵S閉合后，電容器所帶的電量Q=？
（2）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運動，電動勢E至少應大于多少？
（3）設上述條件已滿足，在較長的時間間隔t內，小球做了很多次往返運動．求在t時間內小球往返運動的次數以及通過電源的總電量．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，電容器兩板間的電壓等于電源電動勢，由電容的定義式C=

Q

U

求解電容器所帶的電量Q；
（2）由題意可知電場力與重力間的關系，再由電容器的電容公式可求得電量的表達式，即可求得電動勢；
（3）球與極板碰后均做勻變速直線運動，則動力學公式可分別求得小球與上下極板各碰一次之后的運動時間，則可求得小球往返一次所用的時間；即可求得Ts內往返的次數；

解答：解：（1）當電鍵S閉合后，電容器的電壓U=E．由C=

Q

U

 解得Q=EC…①
（2）用q表示碰后小球電荷量的大小．要使小球能不停地往返運動，小球所受的向上的電場力至少應大于重力，則
  q

E

d

＞mg…②，其中q=nQ…③
由①、②、③三式解得：E＞

mgd nC

（3）當小球帶正電時，小球所受電場力與重力方向相同，向下做加速運動．以a₁表示其加速度，t₁表示從A板到B板所用的時間，則有：
 q

E

d

+mg=ma₁，d=

1

2

a₁t₁²，解得：t₁=

2md2 nCE2+mgd

當小球帶負電時，小球所受電場力與重力方向相反，向上做加速運動，以a₂表示其加速度，t₂表示從B板到A板所用的時間，則有：
  q

E

d

-mg=ma₂，d=

1

2

a₂t₂²，解得：t₂=

2md2 nCE2-mgd

小球往返一次共用時間為（t₁+t₂），故小球在t時間內往返的次數N=

t

t1+t2

，
由以上關系式得N=

t

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

小球往返一次通過的電量為2q，在T時間內通過電源的總電量Q'=2qN，由以上兩式可得Q′=

2nCEt

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

．
答：（1）當電鍵S閉合后，電容器所帶的電量Q=EC．
（2）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運動，電動勢E至少應大于

mgd nC

．
（3）在t時間內小球往返運動的次數是

t

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

，通過電源的總電量是

2nCEt

2md2 nCE2+mgd + 2md2 nCE2-mgd

．

點評：本題重點在于明確題意，要求學生能夠從題干中找出物體運動的情景，并能聯系所學規律進行解題；對學生要求較高．