Question

（2011?東城區(qū)模擬）在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛躍到水面的平臺上，小明和小陽觀看后對此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量為m=60㎏的質(zhì)點，選手抓住繩子由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角α=53°，繩子的懸掛點O距水面的高度為H=3m，不考慮空氣阻力和繩子的質(zhì)量，平臺露出水面的高度不計，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6
（1）選手?jǐn)[到最低點時對繩子拉力的大小
（2）繩子長L=2m，選手?jǐn)[到最高點松手落入水中．設(shè)水對選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d．
（3）若選手?jǐn)[到最低點時松手，小明認(rèn)為繩越長，在平臺上的落點距岸邊越遠(yuǎn)；小陽卻認(rèn)為繩越短，落點距岸邊越遠(yuǎn)．請通過推算說明你的觀點．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機械能守恒定律求出選手?jǐn)[到最低點時的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子拉力的大小．
（2）選手?jǐn)[到最高點，速度為零，松手向下先做自由落體運動，進(jìn)入水中做減速運動，根據(jù)動能定理求出選手落入水中的深度d．
（3）選手?jǐn)[到最低點時松手，做平拋運動，繩子越長，到達(dá)最短點的速度越大，但是平拋運動的高度減小，運動時間減少．根據(jù)數(shù)學(xué)求極值的方法求出最大的水平位移，從而得知繩子多長時，落點距岸邊最遠(yuǎn)．

解答：解：（1）機械能守恒mgL（1-cosa）=

mv2

2

圓周運動 F-mg=

mv2

L

F=（3-2cosa）mg=1080N
根據(jù)牛頓第三定律得，F(xiàn)′=F=1080N
（2）根據(jù)動能定理得，
mg（H-Lcosa+d）-（f₁+f₂）d=0
d=

mg(H-Lcosa)

f1+f2-mg

=1.2m
（3）選手從最低點作平拋運動x=vt 
 H-L=

gt2

2

  
mgL（1-cosa）=

mv2

2

解得X=2

l(H-l)(1-cosa)

當(dāng)l=

H

2

時X有最大值，L=1.5m時落點距岸邊最遠(yuǎn)，兩人看法都不對．
答：（1）選手?jǐn)[到最低點時對繩子拉力的大小為1080N．
（2）選手落入水中的深度d為1.2m．
（3）兩人的觀點都錯誤，當(dāng)L=1.5m時落點距岸邊最遠(yuǎn)．

點評：本題綜合運用了動能定理，機械能守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強，但是難度不是太大．