Question

如圖20所示，以A、B和C、D為端點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內，一滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠B點，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C，一物塊被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點，運動到A時剛好與傳送帶速度相同，然后經A沿半圓軌道滑下，再經B滑上滑板，滑板運動到C時被牢固粘連，物塊可視為質點，質量為m，滑板質量M=2m，兩半圓半徑均為R，板長， E距A為S=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數均，重力加速度取g。

（1）求物塊滑到B點的速度大小；

（2）若板右端到C的距離L足夠大，求當兩物體共速時板滑行的距離；

（3）若板右端到C的距離L在R<L<5R范圍內取值，試討論物塊從滑上滑板到離開滑板右端的過程中，克服摩擦力做的功與L的關系。

Answer 1

解：（1）設物塊到達B點的速度為v_B，對物塊從E到B由動能定理得

   ①解得      ②

（2）假設物塊與滑板達到共同速度v時，物塊還沒有離開滑板，對物塊與滑板，由動量守恒，有        ③

   設物塊在滑板上運動的距離為s₁，由能量守恒得  ④

 由③④，得  ⑤   即達到共同速度v時，物塊不會脫離滑板滑下。

設此過程滑板向右運動的距離為s₂，對滑板由動能定理得⑥

由③⑥，得

（3）討論：①當時，滑塊在滑板上一直減速到右端，設此時的速度為v_C，對物塊由動能定理得

  ⑦   解得

所以克服摩擦力所做的功

（備學習用：設物塊離開滑板沿圓軌道上升的高度為H，由機械能守恒得

  ⑧   解得，故物塊不能滑到CD軌道中點。）

②當時，滑塊與滑板最終一起運動至滑板與C相碰，碰后滑塊在滑板上繼續做減速運動到右端，設此時的速度為v_C1 ，對物塊由動能定理得              

   ⑨

解得   所以克服摩擦力所做的功  （備學習用：設物塊離開滑板沿圓軌道上升的高度為h，由機械能守恒得     ⑩

解得，故物塊不能滑到CD軌道中點。）