Question

【題目】如圖，xOy平面處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外。點(diǎn)P（，0）處有一粒子源，向各個(gè)方向發(fā)射速率不同、質(zhì)量為m、電荷量為－q的帶電粒子。粒子1以某速率v1發(fā)射，先后經(jīng)過(guò)第一、二、三象限后，恰好沿x軸正向通過(guò)點(diǎn)Q（0，－L）。不計(jì)粒子的重力。

(1)求粒子1的速率v1和第一次從P到Q的時(shí)間t1；

(2)若只撤去第一象限的磁場(chǎng)，另在第一象限加y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子2以某速率v2發(fā)射，先后經(jīng)過(guò)第一、二、三象限后，也以速率v1沿x軸正向通過(guò)點(diǎn)Q，求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E以及粒子2的發(fā)射速率v2；

(3)若在xOy平面內(nèi)加上沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為 E0，粒子3以速率 v3 沿 y 軸正向發(fā)射，粒子將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，求粒子3在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速率 vm。某同學(xué)查閱資料后，得到一種處理相關(guān)問(wèn)題的思路：帶電粒子在正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，若所受洛倫茲力與電場(chǎng)力不平衡而做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和矢量性，可將帶電粒子的初速度進(jìn)行分解，將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)等效為沿某方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿某一時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。本題中可將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)等效為沿x軸負(fù)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿某一時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)嘗試用該思路求解粒子3的最大速率vm。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)，；(3)

【解析】

(1)粒子1在第一、二、三象限做圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖：

設(shè)半徑為，由幾何知識(shí)得

可得

由向心力公式，根據(jù)牛頓第二定律

可得

設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

由幾何知識(shí)可知

粒子第一次從P到Q的時(shí)間

(2)粒子2在二、三象限的運(yùn)動(dòng)與粒子1完全相同，粒子2在第一象限做類斜拋運(yùn)動(dòng)，并且垂直經(jīng)E過(guò)y軸，可以逆向思考，由牛頓第二定律得

x軸方向

y軸方向

可得

根據(jù)

可得

(3)根據(jù)提示，可將粒子的初速度分解，如圖：

根據(jù)平衡條件

可得

根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成，可知

粒子的運(yùn)動(dòng)可視為水平向左的速率為的勻速直線運(yùn)動(dòng)和初速度為的逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，所以粒子的最大速率為

可得