Question

【題目】圖1、2、3所示無限長直載流導線中，如果電流隨時間變化，周圍空間磁場也將隨變化，從而激發起感應電場．在載流導線附近空間區域內，隨的變化，乃至隨的變化可近似處理為與隨時間變化同步．距載流導線足夠遠的空間區域，、隨的變化均會落后于隨的變化．考慮到電磁場變化傳播的速度即為光速，如果題圖討論的空間區域線度盡管很大，即模型化為圖中可趨向無窮，但這一距離造成的、隨的變化滯后于隨變化的效應事實上仍可略去．在此前提下，求解下述問題

（1）系統如圖1、2所示，設

①通過分析，判定圖1的平面上處感應電場場強的三個分量、、中為零的分量

②圖2中長方形框架的回路方向已經設定，試求回路電動勢

③將圖1中的、兩處感應電場場強的大小分別記為、，試求值

（2）由兩條無限長反向電流導線構成的系統如圖3所示，仍設，試求處感應電場場強的方向和大小

Answer 1

【答案】（1）①② ③ （2） ，基準方向取為與軸反向

【解析】

（1）①若，則在過點且與坐標面平行的平面上，取一個以為半徑，以軸為中央軸的圓，設定回路方向如題解圖所示．由系統的軸對稱性，回路各處感應電場的角向分量與圖中方向一致地沿回路方向，且大小相同，由的回路積分所得的感應電動勢．另一方面，電流的磁場在該回路所包圍面上磁通量恒為零，磁通量變化也為零，據法拉第電磁感應定律應有．兩者矛盾，故必定是．

若，由系統的軸對稱性，在題解圖1的圓柱面上各處場強的方向分量方向、大小與圖中方向、大小相同．若取一系列不同半徑的同軸圓柱面，每個圓柱面上場強的方向分量方向相同、大小也相同，但大小應隨增大而減小．這將使得題文圖2中的矩形回路感生感應電動勢，與法拉第電磁感應定律相符，因此允許

若，由軸對稱性，題解圖1的圓柱面上各處場強E的徑向分量方向與對應的徑向方向一致，兩者大小也相同．將題解圖1中的圓柱面上、下封頂，成為一個圓筒形高斯面，上、下兩個端面通量積分之和為零，側面通量積分不為零，這與麥克斯韋假設所得

矛盾，故必定是

②據法拉第定律，參考題文圖2，有，其中

所以，

③據麥克斯韋感應電場假設，結合（1.1）問解答，有

結合①②問所得結果，有

即得

（2）從物理上考慮，遠場應

代入上式，得

為行文方便，將改述為

為發散量，系因模型造成，并非真實

如圖所示，由左側變化電流貢獻的和右側變化電流貢獻的合成的，基準方向取為與軸反向．

即有

使得