Question

(15分)某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s，比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點，整個過程中球一直保持在球拍中心不動，比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示，設球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g。求：

⑴空氣阻力大小與球速大小的比例系數k；
⑵加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式；
⑶整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件。

Answer 1

⑴k＝；⑵tanθ＝＋；⑶sinβ≤

試題分析：⑴在勻速運動階段，球受重力mg、球拍的支持力N₀，和空氣阻力f₀作用，根據共點力平衡條件有：f₀＝mgtanθ₀               ①
根據題意有：f₀＝kv₀            ②
由①②兩式聯立解得：k＝              ③
⑵在加速階段，球受重力mg、球拍的支持力N，和空氣阻力f作用，在豎直方向上有：Ncosθ＝mg ④
在水平方向上，根據牛頓第二定律有：Nsinθ－f＝ma              ⑤
根據題意有：f＝kv             ⑥
由③④⑤⑥式聯立解得：tanθ＝＋
⑶以速度v₀勻速運動，而球拍的傾角為θ₀＋β，并保持不變時，設空氣阻力f₀與重力mg的合力為F，方向仍然與水平方向成－θ₀斜向后下方，因此有：F＝         ⑦
設球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，根據牛頓第二定律有：Fsinβ＝ma′            ⑧
設勻加速運動的位移為s₁，根據勻變速直線運動規律有：s₁＝         ⑨
根據幾何關系可知，勻速運動的位移為：s₂＝s－s₁          ⑩
根據勻速運動規律可知，勻速運動階段的時間為：t＝           ?
球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落的條件為：≤r           ?
由⑦⑧⑨⑩??式聯立解得：sinβ≤