Question

（10分）如圖所示，質量為的汽車以恒定功率從點由靜止出發，先沿著長度為，傾角為的斜面運動到（其受到的阻力為車重倍），隨后沿著長度為的水平面運動到（其受到的阻力為車重倍）。若和足夠長，汽車在、段最后均可達到勻速行駛。求：

（1）汽車在段和段達到勻速行駛時，其速度和分別為多大？耗時分別為多少？
（2）為了省油，汽車發動機在段至少還需工作多久才能到達點。
（3）若汽車可先沿著長度為的水平面運動（其受到的阻力為車重倍），隨后沿著長度為，傾角為的斜面運動到點（其受到的阻力為車重倍）。為簡單計，設，請問與原路徑相比，哪個更省時，為什么？

Answer 1

（1），；
，
（2）或0
（3）車沿新路徑到更省時

試題分析：（1）、在區間，汽車可達到勻速，由力學知識可得
   （1分）
耗時，由（1分）
    （1分） 
在段：達到勻速時，同理
           （1分） 
則耗時，由
（1分）
可以求出
    （1分）           
（2） 因為汽車在區間速度已經達到勻速，若以為初速滑行汽車不能達到點。假設汽車發動機在段至少還需工作時間，才能使得汽車恰好能到達點。根據動能定理：
（1分）
求出
  （1分）                     
若汽車以為初速汽車滑行能達到點，則，汽車發動機在段工作時間為                                                
（3）兩個路徑中汽車克服阻力做功相同。根據動能定理，
       （1分） 
可知汽車到達點，末速度越大，汽車發動機工作時間越長。汽車沿原路徑到達點，最后車速為，而汽車沿新路徑到點，末速度為。因為 
所以汽車沿原路徑耗時更多。  （1分）
點評：難題。汽車以恒定功率加速時，牽引力是變力，這類問題求位移或時間要用到動能定理。