Question

如圖所示，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側．引力常數為G.

(1)求兩星球做圓周運動的周期．
(2)在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T₁.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期為T₂.已知地球和月球的質量分別為5.98×10²⁴ kg和7.35×10²² kg.求T₂與T₁兩者平方之比．(結果保留三位小數)

Answer 1

(1)2π　(2)1.01

(1)mω²r＝Mω²R，r＋R＝L，聯立解得
R＝L，r＝L
對A根據牛頓第二定律和萬有引力定律得
＝mL，得T＝2π.
(2)將地月看成雙星，由(1)得T₁＝2π
將月球看作繞地心做圓周運動，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得＝m，L化簡得T₂＝2π，所以兩種周期的平方比值為＝＝1.01.