Question

（2006?廣東）宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用．已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設每個星體的質量均為m．
（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期．
（2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？

Answer 1

分析：明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源．

解答：解：（1）在第一種形式下：三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；
其中邊上的一顆星受中央星和另一顆邊上星的萬有引力提供向心力．

Gm2

R2

+

Gm2

(2R)2

=m

v2

R

v=

5Gm 4R

T=

2πR

v

=4πR

R 5Gm

  ①
（2）另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，

由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
2

Gmm

l2

cos30°=m

l

2cos30°

(

2π

T

)2   ②
有①②解得：l=

3	12 5

R．
答：（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度為

5Gm 4R

，周期為4πR

R 5Gm

．
（2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為

3	12 5

R．

點評：萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關鍵在于進行正確受力分析．