Question

豎直井是將地下數百米深處的煤炭或礦石等資源運送到地面的通道．當一次提升的質量一定，提升能力（單位時間的提升量）與所用時間成反比．提升電動機的額定功率又與最大提升速度成正比．一般牽引鋼絲的安全系數限制提升的加速度不超過某一值，此值為a=

1

10

g，提升時可采用兩種辦法：
（方法一）先加速到最大值后再減速到達地面，到達地面時速度為0．
（方法二）先加速到一定的速度后在勻速一段時間，再減速到達地面，到達地面時速度為0．
為了便于研究將問題簡化：假定加速、減速過程都看做勻變速，且加速度大小都為a=

1

10

g．
問題1：在同一坐標系中畫出兩種方法對應的v-t圖線，方法一用①表示，方法二用②表示．并根據圖線判斷采用哪種方法提升能力強．
問題2：為了確保安全，規定：在提升的過程中鋼絲繩中出現的最大張力不應超過其能承受的最大張力的一半．設所使用的鋼絲繩能承受的最大張力為T，求每次提升貨物的最大質量．
問題3：假定用第二種方法提升時，勻速運動的速度為第一種方法時最大速度的一半．
（1）求兩種方法提升一次所用時間的比t₂/t₁
（2）實踐表明，提升過程中，相同時間內消耗的電能與電動機的額定功率成正比．既考慮提升能力又考慮能耗，提高經濟效益，請你分析一下哪種方法比較好．

Answer 1

分析：問題1：根據勻加速和勻減速運動的v-t圖象是傾斜的直線，圖象的“面積”大小等于位移，兩種方法位移相等，作出v-t圖象，比較時間長短，即可比較提升能力．
問題2：根據牛頓第二定律求每次提升的貨物最大質量．
問題3：（1）由運動學公式列式得出時間與高度和最大速度的關系，再求時間之比．
（2）根據題中條件提升能力（單位時間的提升量）與所用時間成反比、相同時間內消耗的電能與電動機的額定功率成正比，得到相同時間內第二種方法的產量之比和能耗之比，即可知道哪種方法好．

解答：解：問題1．圖象如圖所示．
由圖知：t₁＜t₂
∴第一種方法提升能力強．
問題2：由牛頓第二定律得：

T

2

-mg=ma
∴m=

T

2(a+g)

=

5T

11g

問題3：（1）第一種方法：

v

2

t1=h→t₁=

2h

v

 由 v²=2ah得       ①
第二種方法：

v2

4a

+

v

2

(t2-

v

a

)=h ②
將①帶入②得：t₂=

5h

2v

∴

t2

t1

=

5

4

（2）第二種方法與第一種方法提升能力之比：

Q2

Q1

=

t1

t2

=

4

5

=80%
第二種方法與第一種方法相同時間內的耗能比：

E2

E1

=

P2

P1

=

1

2

=50%
由以上分析知：相同時間內第二種方法的產量為第一種方法的80%，但耗能為50%
因此第二種方法較好．  
答：
問題1，圖象如圖所示，第一種方法提升能力強．
問題2，每次提升貨物的最大質量為

5T

11g

．
問題3，（1）兩種方法提升一次所用時間的比

t2

t1

=

5

4

．
（2）第二種方法較好．

點評：本題是信息給予題，要認真讀題，搞懂題意，并掌握速度圖象的意義進行作圖，能正確運用牛頓第二定律和運動學公式求解．