Question

如圖所示，一根長l=0.8m輕繩一端固定在O點，另一端栓一質量m=0.1kg的小球靜止于A點，其右方有底面半徑r=0.2m的轉筒，轉筒頂端與A等高，下部有一小孔，距頂端h=0.8m．現使細繩處于水平線上方30°的位置B點處而伸直，且與轉筒的軸線、OA在同一豎直平面內，開始時小孔也在這一豎直平面內．將小球由B點靜止釋放，當小球經過A點時輕繩突然斷掉，同時觸動了光電裝置，使轉筒立刻以某一角速度勻速轉動起來，且小球最終正好進入小孔．不計空氣阻力，g取l0m/s²．
（1）辨析題：求小球到達A點時的速率？
某同學解法如下：小球從B點運動到A點過程中，只有重力做功，故機械能守恒，則mgl(1+sin30°)=

1

2

mvA2，代入數據，即可求得小球到達A點時的速率．
你認為上述分析是否正確？如果你認為正確，請完成此題；如果你認為不正確，請指出錯誤，并給出正確的解答．
（2）求轉筒軸線距A點的距離L
（3）求轉筒轉動的角速度ω

Answer 1

分析：（1）此同學解法不正確．由于輕繩突然斷掉時，輕繩對小球做功，小球的機械能有損失，不能從B到A過程，運用機械能守恒列方程，解出小球到達A點時的速率．分兩段研究：從B到細繩斷掉和細繩斷掉到A，分別根據機械能定律列式，求解小球到達A點時的速率．細繩斷掉過程，小球沿繩子方向的速度突然減至零．
（2）滑塊從A點到進入小孔做平拋運動，由高度h求出時間，由幾何關系L-r=v_A?t求得L．
（3）在小球平拋的時間內，圓桶必須恰好轉整數轉，小球才能鉆入小孔，根據此關系列式，求解轉筒轉動的角速度ω．

解答：解：（1）此同學解法不正確．設細繩到C位置斷掉．
從B→C過程：根據機械能守恒得：mgl=

1

2

m

v

2 C

  小球在C點切向速度為 v_C切=v_Csin60°
從C到A，只有重力做功，據機械能守恒定律得 
   mgl(1-cos60°)+

1

2

m

v

2 C切

=

1

2

m

v

2 A

解得，vA=2

5

m/s
（2）滑塊從A點到進入小孔的時間為
   t=

2h g

=

2×0.8 10

s=0.4s
又由題意得 L-r=v_A?t
得 L=

4 5 +1

5

m=1.99m
（3）在小球平拋的時間內，圓桶必須恰好轉整數轉，小球才能鉆入小孔
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）
解得，ω=5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）   
答：
（1）此同學解法不正確．小球到達A點時的速率為2

5

m/s．
（2）轉筒軸線距A點的距離L是1.99m
（3）轉筒轉動的角速度ω是5nπ（rad/s）（n=1，2，3…）

點評：本題是圓周運動與平拋運動相結合的題目，考查了圓周運動及平拋運動的基本規律，運動過程較為復雜，難度較大．