Question

（2011?翠屏區(qū)模擬）如圖所示，在光滑絕緣的水平臺(tái)面上，存在平行于水平面向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．水平臺(tái)面上放置兩個(gè)靜止的小球A和B（均可看作質(zhì)點(diǎn)），兩小球質(zhì)量均為m，A球帶電荷量為+Q，B球不帶電，A、B連線與電場(chǎng)線平行．開始時(shí)兩球相距L，在電場(chǎng)力作用下，A球開始運(yùn)動(dòng)（此時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，即t=0），后與B球發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動(dòng)能無損失，設(shè)在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉(zhuǎn)移，且不考慮兩球碰撞時(shí)間及兩球間的萬有引力，試求：
（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）從計(jì)時(shí)零點(diǎn)到即將發(fā)生第三次碰撞時(shí)所經(jīng)歷的總時(shí)間為多少？
（3）若要求A在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面（v=0時(shí)刻除外），可以在水平面內(nèi)加一與電場(chǎng)正交的磁場(chǎng)．請(qǐng)寫出磁場(chǎng)B_（t）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球與B球碰撞前的速度．由于碰撞過程中A、B兩球總動(dòng)能無損失，交換速度．
（2）根據(jù)速度公式求出第一次碰撞時(shí)間．第一次碰后，A球追及B球，當(dāng)位移相等時(shí)，發(fā)生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞時(shí)間．同理求解第三次碰撞時(shí)間．
（3）要求A在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面，洛倫茲力與重力平衡．采用歸納法分別分析從計(jì)時(shí)零點(diǎn)到即將發(fā)生第1次碰撞這段過程、第1次碰撞到即將發(fā)生第2次碰撞這段過程、從第2次碰撞到即將發(fā)生第3次碰撞這段過程…由A球豎直方向力平衡得到B_（t）與時(shí)間t的關(guān)系式，總結(jié)出規(guī)律，再求磁場(chǎng)B_（t）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系．

解答：解：（1）A球的加速度為a=

QE

m

碰前A的速度為v_A1=

2aL

=

2QEL m

，碰前B的速度為v_B1=0由于碰撞過程中A、B兩球總動(dòng)能無損失，交換速度，則碰撞后A、B的速度分別
v_A1′=0，v_B1′=v_A1=

2QEL m

．
（2）A、B球發(fā)生第一次、第二次、第三次的碰撞時(shí)間分別為t₁、t₂、t₃．
則t₁=

vA1-0

a

=

2mL QE

第一次碰后，經(jīng)t₂-t₁時(shí)間A、B兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰前瞬間A、B兩球速度為v_A2和v_B2，則有
v_B1′（t₂-t₁）=

1

2

a（t₂-t₁）²
解得，t₂=3t₁
v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=2

2QEL m

．
v_B2=v_B1′=

2QEL m

．
第二次碰后瞬間，A、B兩球速度分別為
v_A2′和v_B2′，經(jīng)t₃-t₂時(shí)間A、B兩球發(fā)生碰撞，并設(shè)碰撞前瞬間A、B兩球速度分別v_A3和v_B3
則v_A2′=v_B2=

2QEL m

．
v_B2′=v_A2=2

2QEL m

．
當(dāng)v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+

1

2

a（t₃-t₂）²發(fā)生第三次碰撞
解得，t₃-t₂=t₂-t₁，t₃=5

2QEL m

．
（3）對(duì)A球，要求A在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)桌面始終無壓力且剛好不離開水平桌面，洛倫茲力與重力恰好平衡，得
   BQv_A=mg，得B=

mg

QvA

，A球的加速度為 a=

QE

m

則從A球開始運(yùn)動(dòng)到發(fā)生第1次碰撞這段過程中，
   B（t）=

mg

Qat

=

m2g

Q2Et

  0＜t≤

2mL QE

從第1次碰撞到發(fā)生第2次碰撞這段過程中，
   B（t）=

m2g

Q2E(t- 2mL QE )

 

2mL QE

≤t≤3

2mL QE

從第2次碰撞到發(fā)生第3次碰撞這段過程中，
   B（t）=

m2g

Q2E(t-2 2mL QE )

   3

2mL QE

≤t≤5

2mL QE

從第3次碰撞到發(fā)生第4次碰撞這段過程中，
 B（t）=

m2g

Q2E(t-3 2mL QE )

   5

2mL QE

≤t≤7

2mL QE

   …
以此類推，從第n次碰撞到發(fā)生第n+1次碰撞這段過程中，
  B（t）=

m2g

Q2E(t-n 2mL QE )

  （2n-1）

2mL QE

≤t≤（2n+1）

2mL QE

  （n=1，2，3，…）
答：
（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度各為0和

2QEL m

．
（2）從計(jì)時(shí)零點(diǎn)到即將發(fā)生第三次碰撞時(shí)所經(jīng)歷的總時(shí)間為5

2QEL m

．
（3）磁場(chǎng)B（t）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是 B（t）=

m2g

Q2E(t-n 2mL QE )

（2n-1）

2mL QE

≤t≤（2n+1）

2mL QE

（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng)：本題是小球周期性運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵要采用歸納法總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解．