Question

（2013?合肥模擬）如圖所示，相距為L的平行金屬導軌ab、cd與水平面成θ角，導軌兩端分別接有 阻值均為2R₀的電阻R₁，R₂，兩導軌間有方向垂直軌道平面斜向上的勻強磁場，磁感應 強度為B．質量為m、阻值為R₀的導體棒MN放在兩導軌上，棒與導軌垂直并保持良好 接觸，它們之間的動摩擦因數為μ．重力加速度為g．棒由靜止下滑，最終達到穩定狀態 時速度恒定．
（1）求金屬棒下滑后，當通過電阻R₁的電量為q₁時，金屬棒減 少的重力勢能；
（2）金屬棒加速下滑的某段時間內，電阻R₁上產生的焦耳熱 為Q₁，求在這段時間內金屬棒克服安培力做的功；
（3）求金屬棒達到穩定狀態時的速度v_m．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式q=I△t求出棒下滑的距離，即可求得金屬棒減少的重力勢能．
（2）電阻R₁上產生的焦耳熱為Q₁時，電阻R₂上產生的焦耳熱也為Q₁，金屬棒上產生的熱量為2Q₁，金屬棒克服安培力做的功等于整個電路產生的總熱量．
（3）推導出安培力與速度的關系式，由平衡條件求解最大速度．

解答：解：（1）在這段時間內金屬棒下滑的距離為x，通過金屬棒的電量為：q=2q₁，
回路中的總電阻為：R=2R₀
通過金屬棒的電量為：q=I△t=

E

2R0

?△t=

△  φ

△t

?

1

2R0

△t=

BLx

2R0

則得：x=

4R0q1

BL

 
金屬棒下滑的高度為：h₁=xsinθ=

4R0q1sinθ

BL

所以金屬棒減少的重力勢能為：△E_p=mgh₁=

4mgR0q1sinθ

BL

（2 ）電阻R₁上產生的焦耳熱為Q₁時，電阻R₂上產生的焦耳熱也為Q₁．
R₁和R₂熱功率均為：P₁=I

2 1

?2R₀，金屬棒上的熱功率為：P₂=（2I₁）²?R₀=2P₁
所以金屬棒上產生的熱量為2Q₁，回路中產生的總焦耳熱：Q=4Q₁，
根據金屬棒克服安培力做的功等于整個電路產生的總熱量，得知金屬棒克服安培力做的功：W=4Q₁，
（3）金屬棒達到穩定狀態時感應電動勢：E_m=BLv_m
通過金屬棒的電流：I_m=

BLvm

2R0

金屬棒受到的安培力：F_安m=BI_mv_m=

B2L2vm

2R0

金屬棒合力為零：mgsinθ-μmgcosθ-F_安m=0
得：v_m=

2mgR0(sinθ-μcosθ)

B2L2

答：（1）金屬棒下滑后，當通過電阻R₁的電量為q₁時，金屬棒減少的重力勢能為

4mgR0q1sinθ

BL

；
（2）在這段時間內金屬棒克服安培力做的功為4Q₁，
（3）金屬棒達到穩定狀態時的速度v_m為

2mgR0(sinθ-μcosθ)

B2L2

．

點評：解決本題關鍵要正確推導安培力與感應電量的表達式，正確分析電路中能量如何轉化．