Question

（09年冀州中學(xué)期末）（14分）如下圖所示是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車(chē)的模型圖。在模型圖中半徑分別為和的兩個(gè)光滑圓形軌道，固定在傾角為斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接。現(xiàn)使小車(chē)（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，已知斜軌道面與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，，，。問(wèn)：

（1）若小車(chē)恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？

（2）若小車(chē)在P點(diǎn)的初速度為10m／s，則小車(chē)能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道？

Answer 1

解析：（1）(7分)小車(chē)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的臨界速度為，則    

 

設(shè)Q點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為，PQ間距離為，則    

 

 

P到A對(duì)小車(chē)，由動(dòng)能定理得

 

解得    

 

（2）（7分）Z點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為，則PZ間距離為，

 

則  

 

 

小車(chē)能安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道的臨界條件是在B點(diǎn)速度為，

 

且在B點(diǎn)時(shí)有：

 

設(shè)P點(diǎn)的初速度為，P點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

 

，

 

 

可知＜10m/s，能安全通過(guò)。