Question

在實驗室中，需要控制某些帶電粒子在某區域內的滯留時間，以達到預想的實驗效果．現設想在xOy的紙面內存在以下的勻強磁場區域，在O點到P點區域的x軸上方，磁感應強度為B，方向垂直紙面向外，在x軸下方，磁感應強度大小也為B，方向垂直紙面向里，OP兩點距離為x₀（如圖所示）．現在原點O處以恒定速度v₀不斷地向第一象限內發射氘核粒子．
（1）設粒子以與x軸成45°角從O點射出，第一次與x軸相交于A點，第n次與x軸交于P點，求氘核粒子的比荷

q

m

（用已知量B、x₀、v₀、n表示），并求OA段粒子運動軌跡的弧長（用已知量x₀、v₀、n表示）．
（2）求粒子從O點到A點所經歷時間t₁和從O點到P點所經歷時間t（用已知量x₀、v₀、n表示）．

Answer 1

分析：（1）在x軸的上方和下方的磁場的方向相反，粒子的受力的方向也相反，粒子與x軸成45°角從O點進入磁場，根據粒子的運動的軌跡，由幾何關系可以得出粒子的運動的軌跡的弧長的大小；
（2）上方和下方的磁場的大小相同方向相反，粒子的運動的情況相同，運動的時間也相同，由此可以求得粒子到達P的時間的大小．

解答：解（1）氘核粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得
qBv0=

m v 2 0

R

解得粒子運動的半徑  
R=

mv0

qB

由幾何關系知，
粒子從A點到O點的弦長為

2

R，
由題意
n?

2

R=x0
解得氘核粒子的比荷：

q

m

=

2 nv0

x0B

由幾何關系得，OA段粒子運動軌跡的弧長：

S

=θR，
圓心角：
θ=

π

2

由以上各式解得  
 

S

=

2 π x0

4n

（2）粒子從O點到A點所經歷時間：
t1=

2 π x0

4nv0

從O點到P點所經歷時間
t=nt1=

2 π x0

4v0

．

點評：粒子每次在上下磁場中的運動的時間相同，所以很據幾何關系只要求得粒子第一次在上磁場運動的時間即可求得n次的運動的時間．