Question

（2009?崇文區一模）用如圖所示的裝置來選擇密度相同、大小不同的球狀納米粒子．在電離室中使納米粒子電離后表面均勻帶正電，且單位面積的電量為q₀．電離后，粒子緩慢通過小孔O₁進入極板間電壓為U的水平加速電場區域I，再通過小孔O₂射入相互正交的恒定勻強電場、勻強磁場區域II，其中電場強度為E，磁感應強度為B、方向垂直紙面向外．收集室的小孔O₃與O₁、O₂在同一條水平線上．已知納米粒子的密度為ρ，不計納米粒子的重力及納米粒子間的相互作用．（V_球=

4

3

πr3，S_球=4πr²）
（1）如果半徑為r₀的某納米粒子恰沿直線O₁O₃射入收集室，求該粒子的速率和粒子半徑r₀；
（2）若半徑為4r₀的納米粒子進入區域II，粒子會向哪個極板偏轉？計算該納米粒子在區域II中偏轉距離為l（粒子在豎直方向的偏移量）時的動能；（r₀視為已知）
（3）為了讓半徑為4r₀的粒子沿直線O₁O₃射入收集室，可以通過改變那些物理量來實現？提出一種具體方案．

Answer 1

分析：1、根據電場力等于洛倫茲力計算帶電粒子的速度．半徑為r₀的納米粒子質量m=ρ×

4

3

πr3，電量q=q0×4πr2，粒子在區域Ⅰ中加速運動，運用動能定理qU=

1

2

mv2，代入數據計算粒子半徑．
2、由半徑的不同，導致速度大小不一，從而出現洛倫茲力與電場力不等現象，根據其力大小確定向哪個極板偏轉．粒子在區域Ⅱ中，由動能定理   Eq′l=EK-

1

2

m′v′2q′=q0×4π(4r0)2m′=ρ×

4

3

π(4r0)3，可計算該納米粒子在區域II中偏轉距離為l時的動能．
3、根據計算出的粒子半徑，粒子沿直線射入收集室可以通過改變電場強度E、磁感應強度B和加速電壓U來實現．

解答：解：（1）半徑為r₀的納米粒子在區域Ⅱ中沿直線運動，受到電場力和洛倫茲力作用
由F_洛=qvB
F_電=Eq
得qvB=Eq       ①
v=

E

B

②
粒子在區域Ⅰ中加速運動，通過小孔O₂時的速度為v
由動能定理    qU=

1

2

mv2③
半徑為r₀的納米粒子質量m=ρ×

4

3

πr3④
電量q=q0×4πr2⑤
由②③④⑤式得   r0=

6q0UB2

ρE2

⑥
（2）由③④⑤式得半徑為r₀的粒子速率v=

6q0U ρr0

⑦
由⑦式判斷：粒子半徑為4 r₀時，粒子速度v'=

v

2

，故F_洛＜F_電，粒子向上極板偏  
設半徑為4r₀的粒子質量m'、電量q'，偏轉距離為l時的動能為E_k
解法一：粒子在區域Ⅰ、Ⅱ全過程中，由動能定理E_k=q'U+q'El⑧
q′=q0×4π(4r0)2⑨
由⑧⑨式得粒子動能  Ek=64π

r

2 0

q0(U+El)⑩
解法二：粒子在區域Ⅱ中，由動能定理   Eq′l=EK-

1

2

m′v′2q′=q0×4π(4r0)2m′=ρ×

4

3

π(4r0)3
得   Ek=64π

r

2 0

q0(U+El)
（3）由⑥式可知，粒子沿直線射入收集室可以通過改變電場強度E、磁感應強度B和加速電壓U來實現．
只改變電場強度E，使電場強度E為原來的

1

2

，則半徑為4r₀的粒子受到的電場力與洛倫茲力平衡，能沿直線射入收集室．
答：（1）如果半徑為r₀的某納米粒子恰沿直線O₁O₃射入收集室，則該粒子的速率為

E

B

，粒子半徑r0=

6q0UB2

ρE2

；
（2）若半徑為4r₀的納米粒子進入區域II，粒子向上極板偏．該納米粒子在區域II中偏轉距離為l（粒子在豎直方向的偏移量）時的動能為Ek=64π

r

2 0

q0(U+El)．
（3）為了讓半徑為4r₀的粒子沿直線O₁O₃射入收集室，可以只改變電場強度E，使電場強度E為原來的

1

2

，則半徑為4r₀的粒子受到的電場力與洛倫茲力平衡，能沿直線射入收集室．

點評：本題考查運用動能定理求帶電粒子在電場中加速后的速度大小，再洛倫茲力與電場力關系來確定偏向何處．同時注意緊扣題目中隱含的條件．此題有一定的難度，屬于難題．