Question

如圖所示是建筑工地常用的一種“深穴打夯機”．工作時，電動機帶動兩個緊壓夯桿的滾輪勻速轉動將夯桿從深為h的坑中提上來，當兩個滾輪彼此分開時，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底．然后兩個滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來，如此周而復始工作．已知兩個滾輪邊緣線速度v恒為4m/s，每個滾輪對夯桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ=0.3，夯桿質量m=1×10³kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的過程中坑的深度變化及夯與坑底的作用時間均忽略不計，且夯桿底端升到坑口時，速度恰好為零．取g=10m/s²，求：
（1）夯桿上升過程中被滾輪釋放時的速度為多大？此時夯桿底端離坑底多高？
（2）打夯周期是多少？

Answer 1

分析：（1）假設夯桿先加速上升，最后減速上升，結合牛頓第二定律和運動學公式求出勻加速直線運動的末速度，發現大于滾輪的線速度，夯桿上升過程中經歷了勻加速直線運動，勻速直線運動和勻減速直線運動．從而得知釋放時的速度等于滾輪的線速度，根據速度位移公式求出速度達到滾輪速度的位移．
（2）根據運動學公式求出勻加速加速、勻速和勻減速上升的時間，然后計算自由落體的時間，總時間即為打夯周期；

解答：解：（1）勻加速階段：2μF_N-mg=ma
解得a=2m/s²
此過程上升高度為：
h1=

v2

2a

=

42

2×2

m=4m
勻減速階段上升高度：h2=

v2

2g

42

2×10

m=0.8m
由于h₁+h₂＜h所以桿上升過程為先加速，后勻速，再減速至零，
因此，釋放時桿速度為v=4m/s，
桿離坑底h′=h-h₂=5.6m
（2）勻加速階段：v=at₁
t₁=

v

a

=

4

2

s=2s
勻速階段：h-h₁-h₂=vt₃
t₃=0.4s
勻減速階段：v=gt₂
解得t₂=2s
下落階段：h=

1

2

g

t

2 4

t₄=1.13s
總時間：t=t₁+t₂+t₃+t₄得
t=3.93s
答：（1）夯桿上升過程中被滾輪釋放時的速度為4m/s，此時夯桿底端離坑底5.6m
（2）打夯周期是3.93s．

點評：本題關鍵是分析求出夯桿的運動規律，根據牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，由于運動過程較為復雜，增加了本題難度．