Question

如圖所示是建筑工地常用的一種“深穴打夯機”，電動機帶動兩個滾輪勻速轉動將靜止的夯桿從深坑提上來，當夯桿底端剛到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，將夯桿釋放，夯桿在重力作用下落回深坑，夯實坑底．如此循環往復．已知兩個滾輪邊緣的線速度恒為v=4m/s，每個滾輪對夯桿的壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ=0.3，夯桿質量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，取g=10m/s²．求：
（1）夯桿自坑底開始勻加速上升，當速度增加到4m/s時，夯桿上升的高度；
（2）夯桿自坑底上升的最大高度；
（3）夯桿往復運動的周期．

Answer 1

分析：（1）夯桿自坑底開始受到滾輪對夯桿的滑動摩擦力和重力而勻加速上升，根據牛頓第二定律先求得加速度，然后根據運動學公式列式求解上升的高度；
（2）夯桿離開地面后做豎直上拋運動，由運動學公式求解最大高度；
（3）先計算加速和減速上升的時間，然后計算自由落體的時間，總時間即為打夯周期；

解答：解：（1）夯桿開始階段做勻加速運動，設加速度為a，根據牛頓第二定律得：
2μF_N-mg=ma，故a=2m/s²
當速度增加到4m/s時，夯桿上升的高度為：h₁=

v2

2a

解得：h₁=4m
（2）由于h₁＜h，可知，夯桿先勻加速運動4m，后勻速運動2.4m，當夯桿底端到達坑口時，兩個滾輪彼此分開，夯桿做豎直上拋運動，則上升的高度為：h₂=

v2

2g

解得：h₂=0.8m
所以夯桿自坑底上升的最大高度為：H=h+h₂=7.2m
（3）夯桿從開始運動到落回原處共經歷四個運動過程：向上勻加速運動、向上勻速運動、向上豎直上拋運動，向下自由落體運動，設這四個過程的時間分別為t₁、t₂、t₃、t₄．
由題意得：h₁=

1

2

a

t

2 1

得：t₁=2s
t₂=

h-h1

v

=0.6s
v=gt₃
得：t₃=0.4s
h+h₂=

1

2

g

t

2 4

得：t₄=1.2s
故夯桿往復運動的周期為T=t1+t2+t₃+t₄=3.2s．
答：（1）夯桿自坑底開始勻加速上升，當速度增加到4m/s時，夯桿上升的高度是4m；
（2）夯桿自坑底上升的最大高度是7.2m；
（3）夯桿往復運動的周期是3.2s．

點評：本題關鍵是分析求出夯桿的運動過程，把握每個過程所遵守的規律，然后根據牛頓第二定律和運動學公式列式求解．