Question

“嫦娥一號”正在探測月球，若把月球和地球都視為質量均勻的球體，已知地球和月球的半徑之比

r1

r2

=

1

3.6

6，月球表面和地球表面的重力加速度之比

g1

g2

=

1

6

，求：
（1）月球和地球的密度之比

ρ1

ρ2

（保留兩位有效數字）
（2）若取月球半徑r₁=1.7×10³km，月球表面處重力加速度g₁=1.6m/s²，設想今后開發月球的需要而設法使月球表面覆蓋一層一定厚度的大氣層，使月球表面附近的大氣壓也等于p₀=1.0×10⁵Pa，且大氣層厚度比月球半徑小得多，試估算應給月球表面添加的大氣層的總質量M．（保留兩位有效數字）

Answer 1

分析：（1）根據物體的重力約等于其萬有引力，可得到月球與地球的質量之比，再質量與體積之比求出密度之比．
（2）大氣層厚度比月球半徑小得多，可認為大氣緊貼月球表面，大氣層穩定時，大氣壓強從宏觀上看等于大氣重力在單位月球表面的壓力．

解答：解：（1）設月球質量為M₁，地球質量為M₂，則質量為m的物體分別在月球和地球表面時的重力與萬有引力相等，有：
   G

M1m

r 2 1

=mg₁
   G

M2m

r 2 2

=mg₂
又由于M₁=ρ₁

4

3

π

r

3 1

，M₂=ρ2

4

3

π

r

3 2

由以上各式解得：

ρ1

ρ2

=

g1r2

g2r1

=

1×3.6

6×1

=0.6
（2）月球表面大氣壓強產生的向上的壓力與大氣層的重力使大氣層平衡，則：
  Mg₁=p₀?4π

r

2 1

解得：M=

p04π r 3 1

g1

代入解得，M=2.3×10¹⁸kg
答：
（1）月球和地球的密度之比

ρ1

ρ2

為0.6．
（2）月球表面大氣層的總質量M是2.3×10¹⁸kg．

點評：根據天體的半徑和表面重力加速度，根據重力等于萬有引力，求天體的質量是基本題型．