Question

兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示，在y>0，0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在O點(diǎn)有一處小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮，入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值。已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：5，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）。

Answer 1

半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a，屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)

粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為    ①
速度小的粒子將在x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a，屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。
軌道半徑大于a的粒子開(kāi)始進(jìn)入右測(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切（虛線），OD=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。
速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C’，C在y軸上，由對(duì)稱性可知C’在x=2a直線上。
設(shè)t₁為粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，t₂為在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知：
                         
由此解得 ②                  ③
由②、③式和對(duì)稱性可得∠OCM="60°           " ④       ∠MC^’N="60°          " ⑤
∠MC^‘P=360⁰="150°     " ⑥所以∠NC^‘P=150⁰－60⁰=90⁰               ⑦
即為1/4圓周。因此，圓心C’在x軸上。
設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R，由直角△COC’可得
2Rsin60°="2a                                "        ⑧
由圖可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)
       ⑨