Question

【題目】如圖所示傾角為θ=30°的平行金屬軌道固定在水平面上，導軌的頂端接有定值電阻R，長度與導軌寬度相等的導體棒AB垂直于導軌放置，，且保持與導軌由良好的接觸．圖中虛線1和2之間有垂直導軌平面向上的勻強磁場，現給導體棒沿導軌向上的初速度，使導體棒穿過磁場區域后能繼續向上運動到最高位置虛線3，然后沿導軌向下運動到底端．已知導體棒向上運動經過虛線1和2時的速度大小之比為2：1，導體棒沿導軌向下運動由虛線2到1做勻速直線運動，虛線2、3之間的距離為虛線1、2之間距離的2倍，整個運動過程中導體棒所受的摩擦阻力恒為導體棒重力的除定值電阻外其余部分電阻均可忽略，求：

（1）導體棒沿導軌1向上運動經過虛線2的速度v1與沿導軌向下運動經過虛線2的速度v2的比值；

（2）導體棒沿導軌向上運動經過磁場與沿導軌向下運動經過磁場的過程中，定值電阻R上產生的熱量之比Q1：Q2為多大．

（3）導體棒沿導軌向上運動剛經過虛線1和剛到達虛線2時的加速度大小之比；

Answer 1

【答案】（1）：1（2）10：1．（3）(2+2)：(2+)

【解析】（1）設虛線2、3之間的距離為x，導體棒由虛線2運動到虛線3的過程中，導體棒由虛線2運動到虛線3的過程中加速度大小為a1、導體棒由虛線3運動到虛線2的過程中加速度大小為a2，則由牛頓第二定律得：mgsin30°+mg=ma1
解得：a1=g
由0-v12=2a1x，可得：v1=
mgsin30°-mg=ma2
解得：a2=g
由v22=2a2x，可得v2=
因此v1：v2=：1
（2）（3）設導體棒的長度為L，導體棒沿導軌向上運動經過虛線1時的速度為v0，加速度大小為a3，則此時的感應電動勢E1=BLv0
由閉合電路歐姆定律得，回路中的電流I1=
此時導體棒所受安培力大小為F1=BI1L=，方向沿導軌向下
由牛頓第二定律得：mgsin30°+mg+F1=ma3
解得：a3=
由題意可知導體棒由虛線3剛回到虛線2時速度大小為v2，此時的感應電動勢為E2=BLv2
回路中的電流I2=
此時導體棒所受安培力的大小為F2=BI2L=，方向沿導軌向上
由力的平衡條件可得：mgsin30°=mg+F2
解得：F2=mg=
又因為v1：v2=：1，由題意知v0：v1=2：1，可得：v0：v2=2：1
整理可得：a3=g
設導體棒剛好到達虛線2時的加速度為a4，根據牛頓第二定律則有：
mgsin30°+mg+=ma4
整理可得：a4=g
解得：a3：a4=(2+2)：(2+)