Question

過山車是游樂場中常見的設施，如圖是一種過山車的簡易模型．它由水平軌道和在豎直平面內的若干個光滑圓形軌道組成，A、B、C…分別是各個圓形軌道的最低點，第一圓軌道的半徑R₁=2.0m，以后各個圓軌道半徑均是前一軌道半徑的k倍（k=0.8），相鄰兩最低點間的距離為兩點所在圓的半徑之和．一個質量m=1.0kg的物塊（視為質點），從第一圓軌道的左側沿軌道向右運動，經過A點時的速度大小為v₀=12m/s．已知水平軌道與物塊間的動摩擦因數μ=0.5，水平軌道與圓弧軌道平滑連接． g取10m/s²，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．試求：
（1）物塊經過第一軌道最高點時的速度大小；
（2）物塊經過第二軌道最低點B時對軌道的壓力大小；
（3）物塊能夠通過幾個圓軌道？

Answer 1

分析：（1）物塊在第一軌道運動的過程中機械能守恒，根據機械能守恒定律求出物塊經過第一軌道最高點的速度大小．
（2）對A到B運用動能定理，求出到達B點時的速度，在B點重力和支持力的合力提供圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而求出物體對軌道的壓力大小．
（3）設物塊能夠通過n個圓軌道，對全過程運用動能定理，求出第n個軌道的半徑，抓住小球經過第n個圓軌道時，在最高點有臨界值，即vn=

gRn

，運用數學知識求出n的范圍．

解答：解：（1）設經第一個軌道最高點的速度為v，由機械能守恒有

1

2

m

v

2 0

=

1

2

mv2+2mgR1
即有v=

v 2 0 -4gR1

=

122-4×10×2

=8m/s
故物塊經過第一軌道最高點時的速度大小為8m/s．
（2）設物塊經B點時的速度為v_B，從A到B的過程由動能定理，
-μmg(R1+R2)=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

對物塊經B點受力分析，由向心力公式有 
   FN-mg=m

v 2 B

R2

聯立兩式解得N=mg+m

v 2 0 -2μg(R1+R2)

R2

=10+1×

122-2×0.5×10×(2+1.6)

1.6

=77.5N
由牛頓第三定律可知，物塊對軌道的壓力大小為77.5N．　　　
故物塊經過第二軌道最低點B時對軌道的壓力大小為77.5N．　　　　　　　
（3）設物塊恰能通過第n個軌道，它通過第n個軌道的最高點時的速度為v_n，有m

v 2 n

Rn

≥mg
對物塊從A到第n個軌道的最高點的全過程由動能定理得-μmg[(R1+R2)+(R2+R3)+…(Rn-1+Rn)]-2mgRn=

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 0

又因為  R_n=k^n-1R₁=0.8^n-1R₁
由以上三式可整理得v₀²-2μg[（R₁+R₂+…+R_n-1）+（R₂+R₃+…+R_n）]≥5gR_n
即

v

2 0

-2μg[

R1(1-kn-1)

1-k

+

R2(1-kn-1)

1-k

]=

v

2 0

-2μgR1

(1+k)(1-kn-1)

1-k

≥5gkn-1R1
將v₀=12m/s，μ=0.5，R₁=2m，k=0.8，g=10m/s²代入上式，整理得0.8^n-1≥0.45，
即有(n-1)≤

lg0.45

lg0.8

≈3.6，解得  n≤4.6
故物塊共可以通過4個圓軌道．

點評：本題綜合運用了動能定理和機械能守恒定律，運用動能定理和機械能守恒定律解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達式求解．本題第（3）問較難，對數學的要求較高．