Question

（08年全國卷Ⅰ）25.（22分）如圖所示，在坐標系xoy中，過原點的直線OC與x軸正向的夾角φ=120°，在OC右側有一勻強電場：在第二、三象限內有一心強磁場，其上邊界與電場邊界重疊、右邊界為y軸、左邊界為圖中平行于y軸的虛線，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直抵面向里。一帶正電荷q、質量為m的粒子以某一速度自磁場左邊界上的A點射入磁場區域，并從O點射出，粒子射出磁場的速度方向與x軸的夾角θ＝30°，大小為v，粒子在磁場中的運動軌跡為紙面內的一段圓弧，且弧的半徑為磁場左右邊界間距的兩倍。粒子進入電場后，在電場力的作用下又由O點返回磁場區域，經過一段時間后再次離開磁場。已知粒子從A點射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運動的周期。忽略重力的影響。求

（1）粒子經過A點時速度的方向和A點到x軸的距離；

（2）勻強電場的大小和方向；

（3）粒子從第二次離開磁場到再次進入電場時所用的時間。

Answer 1

解析：

（1）從A點進入磁場后從O點離開磁場的過程是勻速圓周運動，畫出粒子運動的軌跡圖，依題意由幾何關系可得圓弧的圓心正好是兩條虛線的交點，故經過A點的速度方向為x軸的正方向。

設圓周的半徑為R，有：R＝2OA，∠OO₁A＝30⁰                            ①

 

根據向心力公式：Bqv=                                             ②

 

A點到x軸的距離：x= R－Rcos30°                                        ③

 

聯立①②③解得：x =

 

（2）粒子能從O點進入電場且能由O點返回，對正電荷，說明電場的方向垂直于OC向左，設電場強度大小為E，電場中的時間為t₁，由動量定理：

Eqt₁=2mv                                                              ④

粒子從A點射入到第二次離開磁場所用的時間恰好等于粒子在磁場中做圓周運動的周期T，由：

T=                                                                ⑤

 

從O點返回磁場后的軌跡如圖，圓心角為120°，故：

T=t₁＋T＋T                                                        ⑥

 

聯立②④⑤⑥解得：E =                                            ⑦

 

（3）第二次離開磁場后到再進入電場，如圖軌跡。

 

則DF=OD=2R cos30°                                                    ⑧

 

時間t₂==