Question

如圖甲所示，PQNM是表面粗糙的絕緣斜面，abcd是質量m=0.5 kg、總電阻R=0.5 Ω、邊長L=0.5 m的正方形金屬線框，線框的匝數N=10。將線框放在斜面上，使斜面的傾角θ由0°開始緩慢增大，當θ增大到37°時，線框即將沿斜面下滑，假設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，現保持斜面的傾角θ=37°不變，在OO'NM的區域加上垂直斜面方向的勻強磁場，使線框的一半處于磁場中，磁場的磁感應強度B隨時間t變化的圖象如圖乙所示。（g取10 m/s²，sin37°=0.6）
(1)試根據圖乙寫出B隨時間t變化的函數關系式；
(2)請通過計算判斷在t=0時刻線框是否會沿斜面運動？若不運動，請求出從t=0時刻開始經多長時間線框即將發生運動。

Answer 1

解：(1)由圖乙所示圖線可知：磁感應強度B隨時間t均勻增大，所以B=B₀+kt，其中B₀=0.2 T，T/S= 0.4 T/s
所以B=0.2+0.4t (T)
(2)不加磁場時，由題意知，當θ=37°時，線框即將沿斜面下滑，此時斜面對線框的靜摩擦力恰好達到最大值f_max，由平衡條件有
f_max=mgsinθ=0.6mg=3 N
加磁場后，由于壓力不變，故f_max的大小不變，無論磁場方向垂直斜面向上還是向下，由楞次定理可知，當穿過線框的磁通量增大時，線框受到的安培力沿斜面向上，因此線框若是運動，則應沿斜面向上。即：滿足F_安≥mgsinθ+f_max=6 N
由法拉第電磁感應定律有=
由閉合電路歐姆定律知，電流
在t=0時刻cd邊受到的安培力F₀=NILB₀=1 N
故F₀＜mgsinθ+f_max，所以在t=0時刻，線框不會沿斜面下滑，也不會沿斜面上滑；當摩擦力方向沿斜面向下達到最大值時，線框即將沿斜面向上運動，此時線框受力如圖所示，由平衡條件有
 
F_安=NILB=mgsinθ+f_max=6N
得磁感應強度大小為B=1.2 T
由(1)知，B=0.2+0.4t (T)
則所經歷時間為t=2.5 s