Question

（2005?閔行區二模）理論研究指出，簡諧振動的振動位移X與時間t的關系圖象（x-t）可以是一條余弦曲線，其函數表達式為：x=Acosωt，其中A是振幅，ω=2π/T．對于周期性變化的電壓和電流的圖象也可以是一條余弦曲線，其函數表達式類似．下圖中從陰極K發射的電子經電勢差U₀=5000V的陽極加速后，沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長L₁=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板邊緣L₂=75cm處放置一個直徑D=20cm、帶有記錄紙的圓筒．整個裝置放在真空內，電子發射的初速度不計（見圖）．若在兩金屬板上交變電壓以U₂=1000cos2πt（V）的規律變化，并使圓筒繞中心軸按圖示方向以n=2轉/s勻速轉動，電子質量為9.1×10^-31kg，電子電量為1.6×10^-19c求：
（1）電子加速后的入射速度？
（2）在紙筒上的落點對入射方向的總偏距？
（3）確定電子在記錄紙上的軌跡形狀并畫出1s內所記錄到的圖形．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出電子加速后的入射速度．
（2）電子在AB板間做類平拋運動，在BD間做勻速直線運動，運用運動的分解，由牛頓第二定律和運動學結合求得電子飛離金屬板時的豎直偏轉距離y₁和豎直方向的分速度v_y，由勻速運動的規律求得電子從飛離金屬板到達圓筒時的偏距y₂，在紙筒上的落點對入射方向的總偏距為y=y₁+y₂．
（3）根據上題的結論得到在記錄紙上的點以振幅和周期，由于記錄紙上的點做簡諧運動，因為圓筒每秒轉2周，故可畫出在1 s內紙上的圖形．

解答：解：（1）電子在加速電場中，由動能定理得：
   eU₀=

1

2

m

v

2 0

得電子加速后的入射速度 v₀=

2eU0 m

=4.2×10⁷m/s
（2）加上交變電壓時，A、B兩板間運動時：
 電子飛離金屬板時的豎直偏轉距離  y1=

1

2

a

t

2 1

=

1

2

?

eE2

m

(

L1

v0

)2
 電子飛離金屬板時的豎直速度  v_y=at₁=

eE2

m

?

L

v0

電子從飛離金屬板到達圓筒時的偏距
   y₂=v_yt₂=

eE2

m

?

L

v0

?

L2

v0

=

eE2L1L2

m v 2 0

所以在紙筒上的落點對入射方向的總偏距為
  y=y₁+y₂=（

L1

2

+L2）

eE2L1

m v 2 0

+L₂=（

L1

2

+L2）

L1U2

2dU0

代入解得，y=0.20cos2πt（cm）
（3）在記錄紙上的點以振幅0.20m，周期T=

2π

ω

=1s而做簡諧運動，因為圓筒每秒轉2周，故在1 s內紙上的圖形如圖所示．
答：
（1）電子加速后的入射速度是4.2×10⁷m/s．
（2）在紙筒上的落點對入射方向的總偏距是0.20cos2πt（cm）
（3）確定電子在記錄紙上的軌跡形狀并畫出1s內所記錄到的圖形如圖所示．

點評：本題粒子電子在組合電場中運動，分析電子的運動情況，運用動能定理和運動的分解進行研究是關鍵．