Question

（2007?江蘇）如圖所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區域足夠長，磁感應強度B=1T，每一條形磁場區域的寬度及相鄰條形磁場區域的間距均為d=0.5m，現有一邊長l=0.2m、質量m=0.1kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v₀=7m/s的初速從左側磁場邊緣水平進入磁場，求：
（1）線框MN邊剛進入磁場時受到安培力的大小F；
（2）線框從開始進入磁場到豎直下落的過程中產生的焦耳熱Q；
（3）線框能穿過的完整條形磁場區域的個數n．

Answer 1

分析：（1）線框MN邊剛進入磁場時，右邊切割磁感線產生感應電動勢，從而產生感應電流，根據安培力的公式F=BIL求解．
（2）線框水平方向上進磁場和出磁場受安培力做減速運動，在無磁場區以及全部在磁場中做勻速直線運動，在豎直方向上僅受重力，做自由落體運動．根據自由落體運動求出線框的末速度，再根據能量守恒：mgH+

1

2

m

v

2 0

=Q+

1

2

m

v

2 H

，求出熱量Q．
（3）線框進入和穿出條形磁場區域時，才產生感應電動勢，才受到安培力，在水平方向做減速運動．因為線框在水平方向上做變減速運動，取很短的一段時間△t，根據動量定理有：-F△t=m△v，再利用微分∑

B2l2

R

v△t=∑

B2l2

R

△x=mv0
求出線框在水平方向上減速運動的位移，從而求出穿過的完整條形磁場區域的個數．

解答：解：（1）線框MN邊剛進入磁場時有：F=BlI=Bl

Blv0

R

=2.8N
（2）設線框豎直下落H時，速度為v_H
由能量守恒得：mgH+

1

2

m

v

2 0

=Q+

1

2

m

v

2 H

自由落體規律：v_H²=2gH
解得：Q=

1

2

m

v

2 0

=2.45J
（3）只有在線框進入和穿出條形磁場區域時，才產生感應電動勢，線框部分進入磁場區域x時有：F=BlI=Bl

Blv

R

=

B2l2

R

v
在t→t+△t時間內，由動量定理：-F△t=m△v
求和：∑

B2l2

R

v△t=∑

B2l2

R

△x=mv0
解得：

B2l2

R

x=mv0
穿過條形磁場區域的個數為：n=

x

2l

≈4.4
可穿過4個完整條形磁場區域．

點評：解決本題的關鍵掌握切割產生的感應電動勢E=BLv．以及熟練運用能量守恒．第（3）問較難，在水平方向進磁場和出磁場做變減速運動，取很小的一段，通過微分的思想來解決問題．