Question

（21分）
圖中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為V；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力。

（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量。
（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為。求離子乙的質(zhì)量。
（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)。

Answer 1

（1） 
（2）
           
（3）所以，磁場(chǎng)邊界上可能有離子到達(dá)的區(qū)域是：邊上從到點(diǎn)。邊上從到。

（21分）



（1）由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，它所受到的向上的磁場(chǎng)力和向下的電場(chǎng)力平衡，有
         ①           
式中，是離子運(yùn)動(dòng)的速度，是平行金屬板之間的勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度，有
                ②            
由①②式得

          ③             
在正三角形磁場(chǎng)區(qū)域，離子甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)離子甲質(zhì)量為，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有
                                    ④

式中，是離子甲做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。離子甲在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓，圓心為：這半圓剛好與邊相切于，與邊交于點(diǎn)。在中，垂直于。由幾何關(guān)系得
                                ⑤

由⑤式得
                               ⑥

聯(lián)立③④⑥式得,離子甲的質(zhì)量為
  ⑦ 
（2）同理，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有
                             ⑧


式中，和分別為離子乙的質(zhì)量和做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。離子乙運(yùn)動(dòng)的圓周的圓心必在兩點(diǎn)之間，又幾何關(guān)系有
  ⑨

由⑨式得
                           ⑩

聯(lián)立③⑧⑩式得，離子乙的質(zhì)量為
           （11）

（1）  對(duì)于最輕的離子，其質(zhì)量為，由④式知，它在磁場(chǎng)中做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。因而與的交點(diǎn)為，有
         （12）
(2)當(dāng)這些離子中的離子質(zhì)量逐漸增大到m時(shí)，離子到達(dá)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)的位置從點(diǎn)沿邊變到點(diǎn)；當(dāng)離子質(zhì)量繼續(xù)增大時(shí)，離子到達(dá)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)的位置從點(diǎn)沿邊趨向于點(diǎn)。點(diǎn)到點(diǎn)的距離為
            （13）
(3)所以，磁場(chǎng)邊界上可能有離子到達(dá)的區(qū)域是：邊上從到點(diǎn)。邊上從到。