Question

光滑的圓弧軌道固定在豎直平面內，與水平軌道CE連接。水平軌道的CD段光滑、DE段粗糙。一根輕質彈簧一端固定在C處的豎直面上，另一端與質量為2m的物塊b剛好在D點接觸（不連接），彈簧處于自然長度。將質量為m的物塊a從頂端F點靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑。物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向左壓縮彈簧。

已知圓弧軌道半徑為r，=l，物塊a、b與DE段水平軌道的動摩擦因數分別為μ₁=0.2和μ₂=0.4，C,D段水平面光滑，重力加速度為g。物塊a、b均可視為質點。求：

（1）物塊a第一次經過E點時的速度是多少？

（2）彈簧形變過程中，所能獲得的最大彈性勢能是多少？

（3）試討論l取何值時，a、b能且只能發生一次碰撞？

 

Answer 1

 解：（1）物塊a由F到E過程中，由機械能守恒有：   …………（2分）

        解得第一次經過E點時的速度  ……………………………（1分）

    （2）物塊a從E滑至D過程中，由動能定理有：

        ………………………………………………（1分）

       解得物塊a在D點時的速度  ……………………（1分）

物塊a、b在D點碰撞，根據動量守恒有： ……………（1分）

       解得兩物塊在D點向左運動的速度 ……………（1分）

       此時系統a,b的動能轉換為彈簧的彈性勢能，有：

                                    ……………（1分）

解得：                          ……………（1分）

（3）a、b一起壓縮彈簧后又返回D點時速度大小……（1分）

由于物塊b的加速度大于物塊a的加速度，所以經過D后，a、b兩物塊分離，同

時也與彈簧分離。

 討論：① 假設a在D點時的速度0，即 l = 5r …………………………（1分）

            要使a、b能夠發生碰撞，則l < 5r……………………………………（1分）

          ② 假設物塊a滑上圓弧軌道又返回，最終停在水平軌道上P點，物塊b在水平軌道上勻減速

滑至P點也恰好停止，設，則，根據能量守恒，

          對a物塊      ………ks5u………………（1分）

          對b物塊      ……………………………（1分）

          由以上兩式解得                ……………………………（1分）

          將代入 

      解得     ………………………………………………………（1分）

          要使a、b只發生一次碰撞，則…………ks5u…………（1分）

     綜上所述，當時，a、b兩物塊能且只能發生一次碰撞……（1分）