Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)的3/4圓弧形光滑軌道ABC，其半徑為R，A端與圓心O等高，B為軌道最低點(diǎn)，C為軌道最高點(diǎn)．AE為水平面，一小球從A點(diǎn)正上方由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)進(jìn)入圓軌道并恰能到達(dá)C點(diǎn)．求：
（1）落點(diǎn)D與O點(diǎn)的水平距離S；
（2）釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度h；
（3）若小球釋放點(diǎn)距離A點(diǎn)的高度為H，假設(shè)軌道半徑R可以改變，當(dāng)R取多少時(shí)，落點(diǎn)D與圓心O之間的距離最大，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）小球恰能到達(dá)C點(diǎn)，知小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為0，重力提供向心力，mg=m

v2

R

求出C點(diǎn)的速度，小球離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，高度決定時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和C點(diǎn)的速度求出水平距離．
（2）從釋放點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理，根據(jù)動(dòng)能定理求出釋放點(diǎn)距離A點(diǎn)的高度．
（3）求出當(dāng)半徑為R時(shí)，通過C點(diǎn)的速度和平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后求出水平位移，根據(jù)二次函數(shù)求極值的方法，求出落點(diǎn)D與圓心O之間的距離最大時(shí)R的值．

解答：解：（1）在C點(diǎn)有：mg=m

vc2

R

．
vc=

gR

根據(jù)R=

1

2

gt2得，t=

2R g

s=vct=

gR

2R g

=

2

R
故落點(diǎn)D與O點(diǎn)的水平距離S為

2

R．
（2）從釋放點(diǎn)到C點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理，有mg(h-R)=

1

2

mvc2-0
h=

3

2

R
故釋放點(diǎn)距A點(diǎn)的豎直高度h為

3

2

R．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得，mg(H-R)=

1

2

mvc′2-0
vc′=

2g(H-R)

平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

2R g

則平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移x=vc′t=

2g(H-R)

2R g

=

4R(H-R)

=

-4(R- H 2 )2+H2

當(dāng)R=

H

2

時(shí)，落點(diǎn)D與圓心O之間的距離最大，最大值為H．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為0，有mg=m

v2

R

，以及能夠熟練運(yùn)用動(dòng)能定理．