Question

水上滑梯可簡化成如圖所示的模型：傾角為θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑連接，起點(diǎn)A距水面的高度H=7.0m，BC長d=2.0m，端點(diǎn)C距水面的高度h=1.0m．一質(zhì)量m=50kg的運(yùn)動(dòng)員從滑道起點(diǎn)A點(diǎn)無初速地自由滑下，運(yùn)動(dòng)員與AB、BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.10，（cos37°=0.8，sin37°=0.6，運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中可視為質(zhì)點(diǎn)）求：
（1）運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)加速度的大小a；
（2）運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小υ；
（3）保持水平滑道端點(diǎn)在同一豎直線上，調(diào)節(jié)水平滑道高度h和長度d到圖中B′C′位置時(shí)，運(yùn)動(dòng)員從滑梯平拋到水面的水平位移最大，求此時(shí)滑道B′C′距水面的高度h′．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)，受到重力mg、支持力和滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為W=μmgcosθ（

H-h

sinθ

）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]．根據(jù)動(dòng)能定理求解到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小υ；
（3）運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功W保持不變，根據(jù)動(dòng)能定理得到運(yùn)動(dòng)員滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小．從C到水平地面，運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平位移h′的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解水平位移最大時(shí)h′的值．

解答：解：（1）運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)，受力情況如圖所示

F_f=μF_N=μmgcosθ
根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
得運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)加速度的大小為：
   a=gsinθ-μgcosθ=5.2 m/s² 
（2）運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中，克服摩擦力做功為：
W=μmgcosθ（

H-h

sinθ

）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]=500J
由動(dòng)能定理得  mg（H-h）-W=

1

2

mv2，
得運(yùn)動(dòng)員滑到C點(diǎn)時(shí)速度的大小  v=10 m/s    
（3）在從C點(diǎn)滑出至落到水面的過程中，運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，
由h′=

1

2

gt2，得  t=

2h′ g

下滑過程中克服摩擦做功保持不變  W=500J
根據(jù)動(dòng)能定理得：
   mg（H-h′）-W=

1

2

mv2，
解得  v=

2g(H-1-h′)

運(yùn)動(dòng)員在水平方向的位移：
  x=vt=

2g(H-1-h′)

?

2h′ g

=

4(H-1-h′)h′

當(dāng)h′=

H-1

2

=3m時(shí)，水平位移最大 
答：
（ 1）運(yùn)動(dòng)員沿AB下滑時(shí)加速度的大小a是5.2 m/s²；
（2）運(yùn)動(dòng)員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W為500J，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度的大小υ為10m/s；
（3）滑道B′C′距水面的高度h′為3m時(shí)，水平位移最大．

點(diǎn)評(píng)：本題中關(guān)鍵之處要抓住滑動(dòng)摩擦力做功W=μmg[d+（H-h）cotθ]，與AC間水平位移大小成正比，AC間水平位移不變，W不變．第3問得到水平位移x與h′的關(guān)系式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解極大值的條件．