Question

如圖甲所示，I、Ⅱ兩區是垂直于紙面的勻強磁場，磁場的邊界相互平行，I區的磁感應強度為B₁，磁場寬度足夠大．Ⅱ區的磁感應強度為B₂，磁場寬度為L．兩磁場之間勻強電場的寬度為L．一質量為m、電荷量為+q、重力不計的粒子，從Ⅱ區右邊界的P點以平行于邊界且與磁場垂直的初速度v₀開始運動，以此作為計時起點，豎直向下為電場的正方向，電場隨時間做周期性變化的規律如圖乙所示．粒子離開Ⅱ區進入電場時，速度恰好與電場方向垂直．再經過一段時間，粒子恰又回到P點，如此循環，粒子循環運動一周，電場恰好變化一個周期．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）請用E₀及已知量表示粒子第一次穿越電場時沿電場方向的偏移量；
（2）若E₀=

4m v 20

3qL

，要實現上述循環，求B₁的大小；
（3）在滿足（2）問的條件下，求電場變化的周期．

Answer 1

（1）粒子在電場中運動的時間 t=

L

v0

①
沿電場方向的位移 y=

1

2

at2 ②
y=

qE0L2

2m v 20

③
（2）由題意，粒子離開電場時沿電場方向的速度
v_y=at=

qE

m

?

L

v0

=

4

3

v₀ ④
故粒子進入Ⅰ區磁場時，速度大小 v=

v 20 + v 2y

=

v 20 +( 4 3 v0)2

=

5

3

v₀ ⑤
粒子在電場中沿y方向的位移 y=

1

2

at2=

qE0

2m

t²=

2

3

L ⑥
粒子在Ⅰ區做圓周運動的圓心必須在過P點且與電場垂直的虛線上才能滿足要求，由幾何關系，有：

L- 2 3 L

v0

=

R

5 3 v0

⑦
得：R=

5

9

L ⑧
由R=

mv

qB1

得：B₁=

mv

qR

=

3mv0

qL

⑨
（3）粒子在Ⅱ區轉四分之一圓弧所用的時間 t₁=

1

4

?

2πm

qB2

=

πm

2qB2

粒子在Ⅰ區轉37°所用的時間 t₂=

37

360

?

2πm

qB1

=

37πm

180qB1

電場變化的周期 T=2（t₁+t+t₂）=2×（

πm

2qB2

+

L

v0

+

37πm

180qB1

）=

πm

qB2

+

2L

v0

+

37πL

270v0

答：
（1）粒子第一次穿越電場時沿電場方向的偏移量為

qE0L2

2m v 20

；
（2）B₁的大小為

3mv0

qL

；
（3）電場變化的周期為

πm

qB2

+

2L

v0

+

37πL

270v0

．