Question

（19分）如圖所示，在光滑絕緣的水平面上，固定一絕緣的、邊長為的正方形方框，方框內有大小可調、方向豎直向下的勻強磁場，方框左邊界的中點有一小孔，恰能讓質量為m、帶電量為+q的小球b（可視為質點）無阻礙的通過。初始時，小球b靜止在小孔處。邊界線MN的左側有一范圍足夠大的勻強電場區域，電場的電場強度為E，方向水平向左，MN的右側與方框的左側間的距離可忽略不計。現有另一質量為、不帶電的小球a以速度正對b球運動。設所有的碰撞均無能量損失和電量的轉移，不計一切摩擦，則：

（1）求小球a、b首次碰后的速度、；
（2）調節方框內磁場的磁感應強度的大小，使小球b與方框經過最少次數的碰撞后，從小孔離開。求小球a、b從開始相碰到再次相碰所用的時間；
（3）方框內磁場的磁感應強度滿足什么條件時，可使小球b繞方框中心運動一周后離開磁場。

Answer 1

（1），方向向左；，方向向右（2） （3） 或

試題分析：（1）a與b發生彈性碰撞，滿足動量守恒和機械能守恒，有：


聯立解得：，，碰后a的速度方向向左，b的速度方向向右。
（2）當小球b做圓周運動的半徑為時，與方框碰撞3次后從小孔離開。
由：，得：
小球b在磁場中運動的時間為：
小球b離開磁場后經時間追上小球a，則：
而 
解得：
則a與b從開始相碰到再次相碰所用的時間為：
（3）當小球b做圓周運動的半徑滿足時可離開磁場，此時有：

當小球做圓周運動的半徑滿足時可離開磁場，此時有：